Что такое наименьшее целое значение, которое является решением неравенства x^2 < 7? Какие значения x делают трехчлен

Давайте начнем с первой задачи. Нам нужно найти наименьшее целое значение, которое является решением неравенства \(x^2 < 7\).

Для начала, давайте решим неравенство \(x^2 = 7\). Найдем корни этого квадратного уравнения. Для этого возьмем квадратный корень от обеих сторон выражения:

\[
\sqrt{x^2} < \sqrt{7}
\]

Так как квадратный корень - это всегда положительное число, то можно смело убрать корень из левой части:

\[
x < \sqrt{7}
\]

Теперь, чтобы найти конкретный ответ на вопрос, нам нужно найти наименьшее целое значение, которое меньше чем корень из 7. Получится, что наименьшим целым значением будет 2, так как \(\sqrt{7}\) примерно равен 2.6457513110645907.

Ответ: Наименьшее целое значение, которое является решением неравенства \(x^2 < 7\), равно 2.

Перейдем к второй задаче. Здесь нам нужно найти значения \(x\), при которых трехчлен \(6x^2 + 90x - 204\) положительный.

Чтобы найти такие значения \(x\), нам нужно решить неравенство \(6x^2 + 90x - 204 > 0\).

Воспользуемся методом разложения на множители или критерием знаков для нахождения интервалов, в которых происходит изменение знаков функции.

Сначала найдем корни уравнения \(6x^2 + 90x - 204 = 0\). Найдем сначала дискриминант:

\[
D = b^2 - 4ac
\]

где \(a = 6\), \(b = 90\) и \(c = -204\).

\[
D = 90^2 - 4 \cdot 6 \cdot -204 = 9000
\]

Так как дискриминант положительный, то у нас есть два различных действительных корня \(x_1\) и \(x_2\). Чтобы найти эти корни, воспользуемся формулой:

\[
x_{1,2} = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}
\]

\[
x_1 = \frac{{-90 + \sqrt{9000}}}{{2 \cdot 6}} \approx -6.205
\]
\[
x_2 = \frac{{-90 - \sqrt{9000}}}{{2 \cdot 6}} \approx 5.872
\]

Теперь построим таблицу знаков:

\[
\begin{{array}}{{cccc}}
\text{{интервал}} & x < -6.205 & -6.205 < x < 5.872 & x > 5.872 \\
\hline
6x^2 + 90x - 204 & - & + & - \\
\end{{array}}
\]

Так как нам нужно найти значения \(x\), при которых трехчлен положительный, рассмотрим интервалы, где \(6x^2 + 90x - 204 > 0\). Видно, что значения \(x\) от -6.205 до 5.872 приведут к положительному результату.

Ответ: Значения \(x\), при которых трехчлен \(6x^2 + 90x - 204\) положительный, находятся в интервале от -6.205 до 5.872.