Как переформулировать уравнение X-lg5=xlg5+2lg2-lg(1+2^x)?

Давайте переформулируем уравнение и попытаемся его решить.

Исходное уравнение: \(X-\log_5(x) = \log_5(x) + 2\log_2 - \log(1+2^x)\).

Для начала объединим члены справа от знака равенства:

\[X - \log_5(x) - \log_5(x) - 2\log_2 + \log(1+2^x) = 0.\]

Теперь сгруппируем члены с одинаковыми логарифмами:

\[X - 2\log_5(x) - 2\log_2 + \log(1+2^x) = 0.\]

Затем вынесем общие множители за скобки:

\[X - 2(\log_5(x) + \log_2) + \log(1+2^x) = 0.\]

Обратите внимание, что \(\log_5(x) + \log_2\) является суммой логарифмов с одинаковым основанием, поэтому мы можем заменить её на логарифм произведения:

\[X - 2\log(5x) + \log(1+2^x) = 0.\]

Чтобы продвинуться дальше, нам нужно избавиться от логарифмов. Для этого мы можем применить экспоненту с основанием 10 к обеим сторонам уравнения:

\[10^{X - 2\log(5x) + \log(1+2^x)} = 10^0.\]

Теперь мы можем использовать свойства экспоненты:

\[10^{X - 2\log(5x) + \log(1+2^x)} = 1.\]

Теперь давайте подумаем о правой части уравнения. Значение \(\log(1+2^x)\) равно степени, в которую нужно возвести 10, чтобы получить \(1+2^x\). Так как мы хотим, чтобы \(1+2^x\) было равно 1, то \(\log(1+2^x) = \log(1) = 0\). Поэтому уравнение упрощается до:

\[10^{X - 2\log(5x)} = 1.\]

Заметим, что \(10^0 = 1\), поэтому:

\[X - 2\log(5x) = 0.\]

Давайте продолжим преобразования. Если перенести \(- 2\log(5x)\) на другую сторону уравнения, мы получим:

\[X = 2\log(5x).\]

Наконец, чтобы избавиться от логарифма, возьмём экспоненту с основанием 10 от обеих сторон уравнения:

\[10^X = 10^{2\log(5x)}.\]

Мы знаем, что \(10^{2\log(5x)}\) можно переписать в виде произведения:

\[10^{2\log(5x)} = (10^{\log(5x)})^2 = (5x)^2.\]

Таким образом, получаем окончательный ответ:

\[X = (5x)^2.\]

Пожалуйста, обратите внимание, что в данном решении использованы свойства логарифмов и экспоненты, а также свойства степеней с одинаковым основанием. Если вы запускаете это уравнение в вашем калькуляторе, проверьте, что решение является верным, подставив любое значение \(x\).