Как переформулировать это неравенство: logп(3x+2) > -logп(x-1)?

Хорошо, давайте разберемся с данной задачей. Нам необходимо переформулировать неравенство с помощью логарифмов. Для начала, давайте рассмотрим основные свойства логарифмов.

1. Свойство смены основания:
Если у нас есть логарифм с основанием \(a\), мы можем перейти к логарифму с другим основанием \(b\) следующим образом:
\[\log_a(x) = \frac{{\log_b(x)}}{{\log_b(a)}}\]

2. Свойство инверсии:
Если у нас есть логарифм, у которого аргумент имеет знак минус, мы можем инвертировать неравенство, сменив знак исходного логарифма:
\[\log_a(-x) = -\log_a(x)\]

Теперь, перейдем к решению задачи.

Мы имеем данное неравенство:

\[\log_\pi(3x+2) > -\log_\pi(x-1)\]

Давайте применим свойство инверсии, чтобы избавиться от отрицательного логарифма:

\[-\log_\pi(x-1) = \log_\pi\left(\frac{1}{{x-1}}\right)\]

Теперь наше неравенство примет вид:

\[\log_\pi(3x+2) > \log_\pi\left(\frac{1}{{x-1}}\right)\]

Чтобы избавиться от логарифмов на обеих сторонах неравенства, мы можем применить свойство смены основания. Пусть выберем основание \(e\), тогда:

\[\frac{{\log_\pi(3x+2)}}{{\log_\pi(e)}} > \frac{{\log_\pi\left(\frac{1}{{x-1}}\right)}}{{\log_\pi(e)}}\]

Поскольку \(\log_\pi(e) = 1\), теперь мы имеем:

\[\log_\pi(3x+2) > \log_\pi\left(\frac{1}{{x-1}}\right)\]

У нас осталась логарифмическая функция с одним и тем же основанием. Чтобы сравнить их значения, достаточно сравнить аргументы функций:

\[3x+2 > \frac{1}{{x-1}}\]

Теперь мы можем решить это неравенство алгебраическим путем. Умножим обе части на \((x-1)\) (учитывая, что \(x \neq 1\), так как это сделал бы знаменатель равным нулю):

\[(3x+2)(x-1) > 1\]

Распределим:

\[3x^2 - x - 2 > 1\]

Теперь перенесем все в левую часть:

\[3x^2 - x - 3 > 0\]

Итак, наше исходное неравенство \(\log_\pi(3x+2) > -\log_\pi(x-1)\) можно переформулировать как \(3x^2 - x - 3 > 0\).

Мы можем решить это неравенство методом факторизации или с помощью квадратного уравнения. Чтобы решить квадратное уравнение, мы можем использовать формулу дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a = 3\), \(b = -1\) и \(c = -3\). Вычислим дискриминант:

\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot -3 = 1 + 36 = 37\]

Так как дискриминант \(D\) положителен, у нас будет два рациональных корня. Найдем их, используя формулу квадратного корня:

\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}\]

Подставим значения:

\[x = \frac{{-(-1) \pm \sqrt{37}}}{{2 \cdot 3}} = \frac{{1 \pm \sqrt{37}}}{{6}}\]

Таким образом, решением неравенства \(3x^2 - x - 3 > 0\) будет:

\[x < \frac{{1 - \sqrt{37}}}{{6}} \quad \text{или} \quad x > \frac{{1 + \sqrt{37}}}{{6}}\]

И это будет ответ на нашу исходную задачу.