Как определить значения противоположного катета и гипотенузы прямоугольного треугольника, если известны значение одного

Для решения задачи о прямоугольном треугольнике существуют несколько формул, которые нам позволят определить значения противоположного катета и гипотенузы.

1. Как определить значения противоположного катета и гипотенузы, если известны значение одного катета и угла между гипотенузой и противоположным катетом?

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где AB - катет, AC - гипотенуза, и задан угол CAB.

Используем тригонометрический закон синусов:
\[\frac{BC}{\sin(\angle CAB)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)}\]

Известны значения катета и угла, поэтому подставляем известные значения в формулу и решаем ее относительно неизвестных величин:
\[BC = AB \cdot \tan(\angle CAB)\]
\[AC = \frac{AB}{\cos(\angle CAB)}\]

2. Как определить значения противоположного катета и гипотенузы, если известны значение гипотенузы и угла между гипотенузой и противоположным катетом?

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где AC - гипотенуза, AB - противоположный катет, и задан угол BAD.

Используем тригонометрический закон синусов:
\[\frac{BC}{\sin(\angle BAD)} = \frac{AC}{\sin(\angle BAC)}\]

Известны значения гипотенузы и угла, поэтому подставляем известные значения в формулу и решаем ее относительно неизвестных величин:
\[BC = AC \cdot \sin(\angle BAD)\]
\[AB = AC \cdot \cos(\angle BAD)\]

3. Как найти значения противоположного катета и гипотенузы, если известны значения двух катетов?

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где AB и BC - катеты.

Используем теорему Пифагора:
\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]

Подставляем известные значения катетов в формулу и находим значение гипотенузы:
\[AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}\]

Значение противоположного катета равно значению катета, которое не было изначально задано.

Таким образом, с помощью этих формул можно определить значения противоположного катета и гипотенузы прямоугольного треугольника в различных случаях.