Как определить значения противоположного катета и гипотенузы прямоугольного треугольника, если известны значение одного

Для решения задачи о прямоугольном треугольнике существуют несколько формул, которые нам позволят определить значения противоположного катета и гипотенузы.

1. Как определить значения противоположного катета и гипотенузы, если известны значение одного катета и угла между гипотенузой и противоположным катетом?

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где AB - катет, AC - гипотенуза, и задан угол CAB.

Используем тригонометрический закон синусов:
$$\frac{BC}{\sin (\mathrm{\angle }CAB)}=\frac{AC}{\sin (\mathrm{\angle }ABC)}$$

Известны значения катета и угла, поэтому подставляем известные значения в формулу и решаем ее относительно неизвестных величин:
$$BC=AB\cdot \tan (\mathrm{\angle }CAB)$$
$$AC=\frac{AB}{\cos (\mathrm{\angle }CAB)}$$

2. Как определить значения противоположного катета и гипотенузы, если известны значение гипотенузы и угла между гипотенузой и противоположным катетом?

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где AC - гипотенуза, AB - противоположный катет, и задан угол BAD.

Используем тригонометрический закон синусов:
$$\frac{BC}{\sin (\mathrm{\angle }BAD)}=\frac{AC}{\sin (\mathrm{\angle }BAC)}$$

Известны значения гипотенузы и угла, поэтому подставляем известные значения в формулу и решаем ее относительно неизвестных величин:
$$BC=AC\cdot \sin (\mathrm{\angle }BAD)$$
$$AB=AC\cdot \cos (\mathrm{\angle }BAD)$$

3. Как найти значения противоположного катета и гипотенузы, если известны значения двух катетов?

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где AB и BC - катеты.

Используем теорему Пифагора:
$$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$$

Подставляем известные значения катетов в формулу и находим значение гипотенузы:
$$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}$$

Значение противоположного катета равно значению катета, которое не было изначально задано.

Таким образом, с помощью этих формул можно определить значения противоположного катета и гипотенузы прямоугольного треугольника в различных случаях.