В треугольнике ABC, AD is a bisector and CH is an altitude, with point H lying on segment AB. The angle DAC is 3 times

Для решения данной задачи нам потребуется применить несколько геометрических свойств треугольников.

Пусть угол ABC обозначим как \(\alpha\), угол DAC обозначим как \(\beta\), а угол BCH обозначим как \(\gamma\).

Согласно условию, угол DAC равен трети угла ABC, что можно записать следующим образом: \( \beta = \frac{\alpha}{3}\).

Угол BCH и внешний угол треугольника при вершине C находятся в соотношении 3 к 20. Это означает, что \(\gamma = \frac{3}{20} \cdot 180^\circ\).

Также известно, что угол BAC является суммой углов DAC и ABC (по свойству внутреннего угла треугольника).

Из предыдущих уравнений можно заключить, что \( \alpha = 3\beta\) и \( \gamma = \frac{3}{20} \cdot 180^\circ\).

Теперь мы можем записать уравнение для суммы углов треугольника ABC:

\(\alpha + 3\beta + \gamma = 180^\circ\).

Подставим значения \(\alpha\) и \(\gamma\) в это уравнение:

\(3\beta + 9\beta + \frac{3}{20} \cdot 180^\circ = 180^\circ\).

Упростим уравнение:

\(12\beta + \frac{3}{20} \cdot 180^\circ = 180^\circ\).

Далее, выразим \(\beta\):

\(12\beta = 180^\circ - \frac{3}{20} \cdot 180^\circ\).

\(12\beta = 180^\circ \cdot \left( 1 - \frac{3}{20} \right)\).

\(12\beta = 180^\circ \cdot \frac{17}{20}\).

\(\beta = \frac{180^\circ \cdot \frac{17}{20}}{12}\).

Вычислим значение \(\beta\):

\(\beta = \frac{3}{2} \cdot 17^\circ\).

\(\beta = \frac{51}{2}^\circ\).

Теперь, используя значение \(\beta\), найдем значение \(\alpha\):

\(\alpha = 3\beta\).

\(\alpha = 3 \cdot \frac{51}{2}^\circ\).

\(\alpha = \frac{153}{2}^\circ\).

Таким образом, у нас получились значения углов треугольника ABC: \(\alpha = \frac{153}{2}^\circ\), \(\beta = \frac{51}{2}^\circ\) и \(\gamma = \frac{3}{20} \cdot 180^\circ\).

Ответ: Угол ABC равен \(\frac{153}{2}^\circ\), угол BAC равен \(\frac{51}{2}^\circ\) и угол BCH равен \(\frac{3}{20} \cdot 180^\circ\).