Как определить начальную скорость и полное ускорение точки, движущейся по дуге а в соответствии с уравнением

Для решения задачи, нам необходимо определить значение начальной скорости и полного ускорения точки, движущейся по дуге \(a\) в соответствии с уравнением \(s = 0,1t^3 + 0,3t\) через 2 секунды движения при радиусе дуги \(0,45\) метра.

Для начала, выразим скорость и ускорение через производные относительно времени.

По определению, скорость \(v\) равна производной от функции \(s(t)\) по времени \(t\), а ускорение \(a\) равно производной от скорости \(v(t)\).

Из уравнения движения \(s = 0,1t^3 + 0,3t\) получим выражение для скорости \(v(t)\). Для этого возьмем производную функции \(s(t)\). Продифференцируем каждое слагаемое по отдельности:

\[\frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt} (0,1t^3) + \frac{d}{dt}(0,3t)\]

После дифференцирования получаем:

\[v(t) = 0,3t^2 + 0,3\]

Теперь, продифференцируем полученное выражение для \(v(t)\), чтобы найти ускорение \(a(t)\):

\[\frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(0,3t^2 + 0,3)\]

Дифференцируем каждое слагаемое и получим:

\[a(t) = 0,6t\]

Итак, мы получили выражения для скорости и ускорения:

\[v(t) = 0,3t^2 + 0,3\]
\[a(t) = 0,6t\]

Теперь, чтобы найти начальную скорость и полное ускорение через 2 секунды движения, подставим \(t = 2\) в наши выражения:

\[v(2) = 0,3(2)^2 + 0,3\]
\[a(2) = 0,6(2)\]

Рассчитаем значения:

\[v(2) = 1,5 + 0,3 = 1,8 \, \text{м/с}\]
\[a(2) = 0,6 \times 2 = 1,2 \, \text{м/с}^2\]

Итак, начальная скорость точки через 2 секунды движения составляет \(1,8\) м/с, а полное ускорение - \(1,2\) м/с².