1) What is the luminosity of the Polar Star if its stellar magnitude is 2^m and the distance to it is 435 light-years?

1) Для определения светимости ("luminosity") Полярной звезды, необходимо использовать закон Стефана-Больцмана, который устанавливает связь между светимостью и температурой звезды.

Закон Стефана-Больцмана гласит: \( L = 4\pi R^2\sigma T^4 \), где:
- \( L \) - светимость звезды,
- \( R \) - радиус звезды,
- \( \sigma \) - постоянная Стефана-Больцмана (\( 5.67 \times 10^{-8} \, \text{Вт/(м}^2\cdot \text{К}^4) \)),
- \( T \) - температура звезды в Кельвинах.

У нас нет информации о радиусе звезды, но мы можем использовать так называемый "метод сравнения светимостей" для решения этой задачи. Мы будем сравнивать Полярную звезду с другой звездой, у которой известна светимость и радиус.

Давайте возьмём Солнце для сравнения. Светимость Солнца \( L_{\odot} = 3.828 \times 10^{26} \, \text{Вт} \) (это известное значение) и температура Солнца \( T_{\odot} \approx 5778 \, \text{К} \).

Мы можем использовать отношение светимостей, чтобы найти отношение радиусов:
\[ \frac{L_{\text{Полярной звезды}}}{L_{\odot}} = \left(\frac{R_{\text{Полярной звезды}}}{R_{\odot}}\right)^2 \]

Мы также знаем, что магнитуда Полярной звезды - 2^m и расстояние до неё составляет 435 световых лет. Используя информацию о магнитуде, мы можем определить ее светимость относительно Солнца.

Магнитуда, как физическая величина, обратно пропорциональна светимости, поэтому отношение магнитуд будет обеспечивать отношение светимостей:
\[ \frac{L_{\text{Полярной звезды}}}{L_{\odot}} = 10^{-0.4(m - m_{\odot})} \]

Где \( m_{\odot} \) - магнитуда Солнца.

Теперь у нас есть два равенства для отношения светимостей. Подставляем первое во второе:
\[ 10^{-0.4(m - m_{\odot})} = \left(\frac{R_{\text{Полярной звезды}}}{R_{\odot}}\right)^2 \]
\[ 10^{-0.4(2 - m_{\odot})} = \left(\frac{R_{\text{Полярной звезды}}}{R_{\odot}}\right)^2 \]

Теперь останется найти \( R_{\text{Полярной звезды}} \). Но, к сожалению, без информации о радиусе звезды, мы не можем точно рассчитать светимость Полярной звезды. Если бы у нас была дополнительная информация, мы могли бы продолжить решение.

2) Для определения размера Альдебарана по сравнению с Солнцем, мы можем использовать отношение светимостей и закон Стефана-Больцмана.

Формула закона Стефана-Больцмана, используемая для расчета светимости звезды, выглядит следующим образом: \( L = 4\pi R^2\sigma T^4 \), где:
- \( L \) - светимость звезды,
- \( R \) - радиус звезды,
- \( \sigma \) - постоянная Стефана-Больцмана (\( 5.67 \times 10^{-8} \, \text{Вт/(м}^2\cdot \text{К}^4) \)),
- \( T \) - температура звезды в Кельвинах.

Мы можем использовать отношение светимостей, чтобы найти отношение радиусов. Для этого нам нужно знать светимость и температуру Солнца.

Светимость Солнца \( L_{\odot} = 3.828 \times 10^{26} \, \text{Вт} \) (это известное значение) и температура Солнца \( T_{\odot} \approx 5778 \, \text{К} \).

Отношение светимостей двух звезд можно записать следующим образом:
\[ \frac{L_{\text{Альдебарана}}}{L_{\odot}} = \left(\frac{R_{\text{Альдебарана}}}{R_{\odot}}\right)^2 \]

Теперь мы знаем, что светимость Альдебарана равна 49, а его температура составляет 4000 K.

Мы можем использовать отношение светимостей и закон Стефана-Больцмана, чтобы выразить отношение радиусов и определить, насколько Альдебаран больше по размеру, чем Солнце.

Заменим светимость в формуле закона Стефана-Больцмана и упростим уравнение:
\[ \frac{L_{\text{Альдебарана}}}{L_{\odot}} = \left(\frac{R_{\text{Альдебарана}}}{R_{\odot}}\right)^2 \]
\[ \frac{49}{L_{\odot}} = \left(\frac{R_{\text{Альдебарана}}}{R_{\odot}}\right)^2 \]
\[ \frac{49}{3.828 \times 10^{26}} = \left(\frac{R_{\text{Альдебарана}}}{6.957 \times 10^8}\right)^2 \]

После упрощения и взятия квадратного корня обеих сторон уравнения, мы получим отношение радиусов:

\[ \frac{R_{\text{Альдебарана}}}{R_{\odot}} = \sqrt{\frac{49}{3.828 \times 10^{26}}} \]

Теперь мы можем найти отношение размеров:
\[ \frac{R_{\text{Альдебарана}}}{R_{\odot}} \approx \sqrt{\frac{12.796}{3.828}} \approx \sqrt{3.34} \approx 1.83 \]

Это означает, что Альдебаран примерно в 1.83 раза больше по размеру, чем Солнце.

3) Звездная эволюция проходит через несколько стадий:

- Облако межзвездного газа и пыли: звезда рождается из облака газа и пыли под воздействием гравитационного сжатия.
- Протозвезда: малый участок облака начинает сжиматься под действием силы гравитации до того момента, когда в ядре начинают протекать термоядерные реакции и звезда начинает светиться.
- Главная последовательность: звезда находится в стадии, когда ее ядро горит гидрогеном, превращая его в гелий. В это время звезда обладает стабильным балансом между внутренним давлением и гравитацией.
- Красный гигант: когда запасы водорода в ядре истощаются, гелий начинает гореть в оболочке вокруг ядра, и звезда расширяется до гигантских размеров. Во время этой стадии звезда становится красной и пылкой.
- Гелиевый горячий цветок: после сжигания большей части гелия в оболочке, внешние слои пылкого гиганта будут выброшены, оставляя за собой горячее ядро, называемое белым карликом.
- Белый карлик: это последняя стадия для звезд с массой до 8 солнечных масс. Белый карлик остывает и погасает, пока все ядерные реакции не закончатся.

Что касается нашего Солнца, в настоящее время оно находится в стадии главной последовательности, где оно горит гидрогеном в своем ядре. Когда запасы водорода исчерпаются, Солнце постепенно расширится до красного гиганта в течение следующих нескольких миллиардов лет. После этого внешние слои будут выброшены, и Солнце превратится в белого карлика.