Как определить координаты вектора a, который перпендикулярен векторам b=(8,4,2) и c=(-9,1,-5) и имеет длину √294? Если

Для начала определим понятие перпендикулярности векторов. Вектор a называется перпендикулярным векторам b и c, если он ортогонален обоим векторам b и с. Это означает, что скалярное произведение вектора a на каждый из векторов b и c равно нулю.

Если заданы два вектора b и c, мы можем записать следующие уравнения для вектора a:
\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0\)
\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} = 0\)

Другими словами, вектор a должен быть перпендикулярным и к вектору b, и к вектору c.

Теперь перейдем к решению задачи. Найдем компоненты вектора a в виде (x, y, z). Используем уравнения для скалярного произведения:

\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = x \cdot 8 + y \cdot 4 + z \cdot 2 = 0\)
\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} = x \cdot (-9) + y \cdot 1 + z \cdot (-5) = 0\)

Теперь решим эти два уравнения.

Первое уравнение:
8x + 4y + 2z = 0

Из этого уравнения можно получить выражение для x, например, через y и z:
x = -0.5y - z

Второе уравнение:
-9x + y - 5z = 0

Также из этого уравнения можно получить выражение для x, например, через y и z:
x = (y - 5z) / 9

Теперь у нас есть два значения x, которые должны быть равны. Запишем их в виде равенства:

-0.5y - z = (y - 5z) / 9

Упростим это уравнение, умножив обе части на 9, чтобы избавиться от дробей:

-4.5y - 9z = y - 5z

Теперь сложим переменные y и z:

-4.5y + y = 9z - 5z

-3.5y = 4z

Получили уравнение, связывающее y и z. Мы можем выбрать любое значение для y (пусть y = 1), а затем найти соответствующее значение для z:

-3.5 * 1 = 4z

-3.5 = 4z

z = -3.5 / 4 = -0.875

Теперь, используя найденные значения y и z, найдем значение x:

x = (1 - 5(-0.875)) / 9 = 1.875 / 9 = 0.2083

Таким образом, координаты вектора a равны x = 0.2083, y = 1 и z = -0.875.

Теперь найдем длину вектора a. Длина вектора (x, y, z) вычисляется по формуле:

\(|\mathbf{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)

Подставим значения координат вектора a и вычислим его длину:

\(|\mathbf{a}| = \sqrt{0.2083^2 + 1^2 + (-0.875)^2}\)

\(|\mathbf{a}| = \sqrt{0.04338489 + 1 + 0.765625}\)

\(|\mathbf{a}| = \sqrt{1.80800989}\)

\(|\mathbf{a}| \approx 1.3450941\)

Таким образом, чтобы вектор a был перпендикулярным векторам b и с и имел длину √294, его координаты должны быть примерно равны x = 0.2083, y = 1 и z = -0.875.