Как называется точка, в которой знак производной f (x) меняется с положительного на отрицательный? * 1 экстремальная

Когда знак второй производной функции \(f""(x)\) меняется с положительного на отрицательный, то мы имеем дело с экстремальной точкой функции. Экстремальная точка - это точка, в которой функция достигает локального максимума или локального минимума.

Чтобы лучше понять концепцию экстремальных точек, давайте проведем небольшой анализ. Рассмотрим график функции \(f(x)\) и её вторую производную \(f""(x)\).

Если вторая производная \(f""(x)\) положительна на некотором интервале, то это означает, что первая производная \(f"(x)\) увеличивается на этом интервале. То есть функция \(f(x)\) имеет положительный наклон и выпукла вверх на данном интервале.

Если вторая производная \(f""(x)\) отрицательна на некотором интервале, то это означает, что первая производная \(f"(x)\) убывает на этом интервале. То есть функция \(f(x)\) имеет отрицательный наклон и выпукла вниз на данном интервале.

Теперь вернемся к нашей задаче. Когда знак производной второго порядка \(f""(x)\) меняется с положительного на отрицательный, мы имеем дело с точкой, в которой функция меняет свой выпуклый характер и сохраняет локальный экстремум. Это и есть экстремальная точка.

Таким образом, ответ на задачу: точка, в которой знак производной \(f""(x)\) меняется с положительного на отрицательный, называется экстремальной точкой функции \(f(x)\).

Важно отметить, что экстремальные точки могут быть как точками локального максимума, так и точками локального минимума. А чтобы узнать, является ли точка максимумом или минимумом, необходимо проводить дополнительный анализ. Это может включать вычисление первой производной \(f"(x)\) и анализ её знаков или использование теоремы Ферма.