Как найти знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма всех членов прогрессии равна

Чтобы найти знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, мы можем воспользоваться формулами для суммы всех ее членов и суммы квадратов членов.

Пусть знаменатель прогрессии равен \(q\). Формула для суммы всех членов геометрической прогрессии имеет вид:

\[S = \frac{a}{1 - q},\]

где \(S\) - сумма всех членов, \(a\) - первый член прогрессии.

Также у нас есть информация о сумме квадратов всех членов. Формула для этой суммы выглядит следующим образом:

\[S^2 = \frac{a^2}{1 - q^2}.\]

Мы знаем, что сумма всех членов равна 4, поэтому \(S = 4\). Заменим \(S\) во второй формуле:

\[4^2 = \frac{a^2}{1 - q^2}.\]

Теперь нам нужно выразить \(q\) через \(a\), чтобы найти знаменатель. Для этого выразим \(a\) из первой формулы:

\[4 = \frac{a}{1 - q}.\]

Отсюда получаем:

\[a = 4(1 - q).\]

Подставим выражение для \(a\) во вторую формулу:

\[4^2 = \frac{(4(1 - q))^2}{1 - q^2}.\]

Упростим это уравнение:

\[16 = \frac{16(1 - 2q + q^2)}{1 - q^2}.\]

Теперь умножим обе части уравнения на \(1 - q^2\) для устранения дроби:

\[16(1 - q^2) = 16(1 - 2q + q^2).\]

Раскроем скобки:

\[16 - 16q^2 = 16 - 32q + 16 q^2.\]

Сократим одинаковые слагаемые:

\[16q^2 - 32q = 0.\]

Вынесем общий множитель:

\[16q(q - 2) = 0.\]

Из этого уравнения получаем два возможных значения для \(q\): \(q = 0\) или \(q = 2\).

Однако знаменатель геометрической прогрессии не может быть равен нулю, иначе каждый следующий член прогрессии будет равен нулю. Поэтому решение уравнения только \(q = 2\).

Итак, знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии равен 2.