Как найти значения 1-й и 2-й производных функции f(x) в первых четырех узлах, используя численное дифференцирование, если функция задана в виде таблицы в пяти узлах xi, i = 0, 1, 2, 3, 4?

Solnce
Хорошо, чтобы найти значения 1-й и 2-й производных функции, используя численное дифференцирование, мы можем использовать формулы конечных разностей. В данном случае, у нас есть таблица со значениями функции в пяти узлах , где .
Для нахождения значения 1-й производной функции в узле , мы можем использовать формулу прямой разности:
,
где - шаг между узлами. В нашем случае будет равен .
Таким образом, для каждого узла , мы можем вычислить значение 1-й производной , используя соответствующие значения функции из таблицы.
Для нахождения значения 2-й производной функции в узле , мы можем использовать формулу центральной разности:
.
Используя значения функции из таблицы, мы можем вычислить значение 2-й производной для каждого узла .
Теперь давайте вычислим значения 1-й и 2-й производных функции для первых четырех узлов.
У нас есть таблица со значениями функции в пяти узлах. Я буду обозначать как для краткости.
Первый узел :
= [значение узла]
= [значение функции в узле ]
Второй узел :
= [значение узла]
= [значение функции в узле ]
=
Третий узел :
= [значение узла]
= [значение функции в узле ]
Четвертый узел :
= [значение узла]
= [значение функции в узле ]
Продолжаем считать по формуле прямой разности для каждого узла.
Значение 1-й производной в первом узле:
Значение 1-й производной во втором узле:
Значение 1-й производной в третьем узле:
Теперь, чтобы найти значения 2-й производной , мы будем использовать формулу центральной разности.
Значение 2-й производной в первом узле:
Заметим, что у нас нет значения функции в узле . Поэтому мы не сможем рассчитать значение 2-й производной для первого узла.
Значение 2-й производной во втором узле:
Значение 2-й производной в третьем узле:
Наконец, вот значения 1-й и 2-й производных функции в первых четырех узлах, используя численное дифференцирование:
- невозможно вычислить
Пожалуйста, обратите внимание, что эти формулы представляют собой численный метод дифференцирования и приводят к приближенным значениям производных функции на основе значений функции в узлах таблицы.
Для нахождения значения 1-й производной функции
где
Таким образом, для каждого узла
Для нахождения значения 2-й производной функции
Используя значения функции из таблицы, мы можем вычислить значение 2-й производной
Теперь давайте вычислим значения 1-й и 2-й производных функции
У нас есть таблица со значениями функции
Первый узел
Второй узел
Третий узел
Четвертый узел
Продолжаем считать по формуле прямой разности для каждого узла.
Значение 1-й производной
Значение 1-й производной
Значение 1-й производной
Теперь, чтобы найти значения 2-й производной
Значение 2-й производной
Заметим, что у нас нет значения функции
Значение 2-й производной
Значение 2-й производной
Наконец, вот значения 1-й и 2-й производных функции
Пожалуйста, обратите внимание, что эти формулы представляют собой численный метод дифференцирования и приводят к приближенным значениям производных функции на основе значений функции в узлах таблицы.
Знаешь ответ?