Как найти значение log 3 31 в кольце классов вычетов по модулю 43, используя методы Шенкса или Полига-Силвера-Хеллмана?

Для решения данной задачи вам потребуется использовать метод Полига-Силвера-Хеллмана. Давайте разберемся в подробностях.

1. Сначала мы должны построить последовательность чисел, которая начинается с числа 3 и включает в себя последовательные степени 3 в кольце классов вычетов по модулю 43, до тех пор, пока не достигнем числа 31.

Начнем с исходного числа 3:
\[3^1 \mod 43 = 3\]
Далее, возводим 3 во вторую степень:
\[3^2 \mod 43 = 9\]
Продолжаем, возводя 3 в следующие степени:
\[3^3 \mod 43 = 27\]
\[3^4 \mod 43 = 81 \mod 43 = 38\]
\[3^5 \mod 43 = 114 \mod 43 = 28\]
\[3^6 \mod 43 = 84 \mod 43 = 41\]
\[3^7 \mod 43 = 123 \mod 43 = 37\]
\[3^8 \mod 43 = 111 \mod 43 = 25\]
\[3^9 \mod 43 = 75 \mod 43 = 32\]
\[3^{10} \mod 43 = 96 \mod 43 = 10\]
\[3^{11} \mod 43 = 30\]
\[3^{12} \mod 43 = 90 \mod 43 = 4\]
\[3^{13} \mod 43 = 12\]
\[3^{14} \mod 43 = 36\]
\[3^{15} \mod 43 = 108 \mod 43 = 19\]
\[3^{16} \mod 43 = 57 \mod 43 = 14\]
\[3^{17} \mod 43 = 42\]
\[3^{18} \mod 43 = 126 \mod 43 = 40\]
\[3^{19} \mod 43 = 120 \mod 43 = 34\]
\[3^{20} \mod 43 = 102 \mod 43 = 16\]
\[3^{21} \mod 43 = 48 \mod 43 = 5\]
\[3^{22} \mod 43 = 15\]
\[3^{23} \mod 43 = 45 \mod 43 = 2\]
\[3^{24} \mod 43 = 6\]
\[3^{25} \mod 43 = 18\]
\[3^{26} \mod 43 = 54 \mod 43 = 11\]
\[3^{27} \mod 43 = 33\]
\[3^{28} \mod 43 = 99 \mod 43 = 13\]
\[3^{29} \mod 43 = 39\]
\[3^{30} \mod 43 = 117 \mod 43 = 8\]
\[3^{31} \mod 43 = 24\]

Итак, мы получили, что \(3^{31} \equiv 24 \pmod{43}\).

2. Далее, посмотрим на степень числа 2, которая является наименьшей степенью 3, которая больше, чем 43. В этом случае, \(\lceil \log_2{43} \rceil = 6\), поэтому мы возьмем последовательные степени числа 3 от 0 до 6.

\[3^0 \mod 43 = 1\]
\[3^1 \mod 43 = 3\]
\[3^2 \mod 43 = 9\]
\[3^3 \mod 43 = 27\]
\[3^4 \mod 43 = 38\]
\[3^5 \mod 43 = 28\]
\[3^6 \mod 43 = 41\]

Теперь мы можем представить число 31 в виде суммы степеней числа 3 с коэффициентами 0 или 1. Например, число 31 можно представить как \(1 \cdot 3^0 + 1 \cdot 3^1 + 0 \cdot 3^2 + 1 \cdot 3^3 + 1 \cdot 3^4 + 1 \cdot 3^5 + 1 \cdot 3^6\).

3. Затем мы формируем две группы чисел: одну из значений, полученных в результате возведения числа 3 в степени, и другую из коэффициентов, используемых для представления числа 31. В нашем случае группы будут выглядеть так:

Группа A (значения):
\[1, 3, 9, 27, 38, 28, 41\]
Группа B (коэффициенты):
\[1, 1, 0, 1, 1, 1, 1\]

4. Теперь мы сортируем группу A в порядке возрастания и соответственно переставляем элементы группы B. Получаем следующие списки:

Группа A (отсортированная):
\[1, 3, 9, 27, 28, 38, 41\]
Группа B (переставленная):
\[1, 1, 0, 1, 1, 1, 1\]

5. Затем мы находим индекс первого элемента в отсортированной группе A, который соответствует числу 31. В нашем случае это 6.

6. Теперь мы можем рассчитать значение \(log_3{31}\) в кольце классов вычетов по модулю 43 с использованием формулы:
\[log_3{31} = \frac{\sum B_i \cdot 2^{n-i-1}}{2^n-1}\]

Где \(n\) - количество элементов в группе A, и \(B_i\) - элементы переставленной группы B.

В нашем случае:
\[log_3{31} = \frac{1 \cdot 2^{7-6-1} + 1 \cdot 2^{7-5-1} + 0 \cdot 2^{7-4-1} + 1 \cdot 2^{7-3-1} + 1 \cdot 2^{7-2-1} + 1 \cdot 2^{7-1-1} + 1 \cdot 2^{7-0-1}}{2^7-1}\]
\[log_3{31} = \frac{2^0 + 2^1 + 0 \cdot 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6}{127}\]
\[log_3{31} = \frac{1 + 2 + 0 + 8 + 16 + 32 + 64}{127}\]
\[log_3{31} = \frac{123}{127}\]
\[log_3{31} \approx 0.9685\]

Итак, значение \(log_3{31}\) в кольце классов вычетов по модулю 43, используя метод Полига-Силвера-Хеллмана, приближенно равно 0.9685.