Как найти угол между прямыми PQ в данном случае, если известно, что у правильной треугольной призмы с длиной стороны

Чтобы найти угол между прямыми \(PQ\) в данной задаче, нам необходимо воспользоваться геометрическими свойствами правильной треугольной призмы.

1. Найдем длину ребра треугольной призмы \(AC\). Так как сторона \(AB = 5\) и высота \(AA1 = 5\), то треугольник \(AAB_1\) является прямоугольным. По теореме Пифагора, длина гипотенузы \(AB_1\) равна:

\[
AB_1 = \sqrt{AB^2 + AA1^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}
\]

Так как \(P\) и \(Q\) являются серединами соответствующих рёбер \(AB\) и \(A1C1\), то длина отрезка \(PQ\) равна половине длины рёбер \(AB\), то есть \(PQ = \frac{1}{2} \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2.5\).

2. Рассмотрим треугольник \(APQ\). Мы знаем длину стороны \(AQ\) (равна \(5\sqrt{2}\)), длину стороны \(AP\) (равна \(2.5\)), и длину стороны \(PQ\) (также \(2.5\)).

3. Для вычисления угла \(\angle PAQ\) воспользуемся косинусовым правилом. Косинус угла можно найти по формуле:

\[
\cos{\angle PAQ} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}
\]

Где \(a = AQ = 5\sqrt{2}\), \(b = AP = PQ = 2.5\), \(c = PQ = 2.5\).

Подставляя значения, получаем:

\[
\cos{\angle PAQ} = \frac{(2.5)^2 + (2.5)^2 - (5\sqrt{2})^2}{2 \cdot 2.5 \cdot 2.5}
\]

\[
\cos{\angle PAQ} = \frac{2.5^2 + 2.5^2 - 5^2 \cdot 2}{12.5}
\]

\[
\cos{\angle PAQ} = \frac{6.25 + 6.25 - 50}{12.5} = \frac{12.5 - 50}{12.5}
\]

\[
\cos{\angle PAQ} = \frac{-37.5}{12.5} = -3
\]

\[
\angle PAQ = \arccos{-3}
\]

4. Поскольку косинус угла отрицателен, это означает, что \(\angle PAQ\) находится во втором или третьем квадранте. Для нахождения точного значения угла следует использовать обратный косинус. Таким образом, угол между прямыми \(PQ\) равен \(\angle PAQ\), что можно вычислить с помощью обратного косинуса:

\[
\angle PAQ = \arccos{-3}
\]

Таким образом, можно вычислить точное значение угла между прямыми \(PQ\).