Какова длина отрезка ас в треугольнике δ a b c, если на изображении два треугольника δ a b c и δ m a n и угол ∠ b

Обозначим длину отрезка $AS$ как $x$.

Из условия дано, что углы $\mathrm{\angle }BAC$ и $\mathrm{\angle }AMN$ равны, что подразумевает, что треугольники $ABC$ и $AMN$ подобны. Поэтому мы можем записать следующие пропорции:

$$\frac{AB}{AM}=\frac{BC}{MN}=\frac{AC}{AN}$$

Мы знаем, что $AN=18$ и $MN=28$, поэтому можем переписать пропорцию, связывающую стороны треугольников $ABC$ и $AMN$ следующим образом:

$$\frac{AB}{AM}=\frac{BC}{28}=\frac{AC}{18}$$

Вертикальные углы $\mathrm{\angle }C$ и $\mathrm{\angle }N$ равны 90 градусам, поскольку одна из сторон прямоугольного треугольника $AMN$, следовательно, равна 90 градусам, и этот угол разделяет стороны $AC$ и $AN$. Таким образом, треугольники $ANC$ и $MNC$ являются прямоугольными треугольниками.

Мы можем использовать теорему Пифагора для этих треугольников:

В треугольнике $ANC$:
$$(AC{)}^2=(AN{)}^2+(CN{)}^2$$

В треугольнике $MNC$:
$$(CN{)}^2=(MN{)}^2-(MC{)}^2$$

Мы знаем, что $AN=18$ и $MN=28$ из условия. Также, поскольку угол $\mathrm{\angle }BAC$ равен $\mathrm{\angle }AMN$, то треугольники подобны и $\frac{BC}{28}=\frac{AC}{18}$. Мы можем использовать это соотношение, чтобы выразить $BC$ через $AC$:
$$BC=\frac{28}{18}\cdot AC=\frac{14}{9}AC$$

Теперь мы можем приступить к решению уравнений.

Используем уравнение Пифагора для треугольника $ANC$:
$$(AC{)}^2=(18{)}^2+(CN{)}^2$$

С помощью уравнения Пифагора для треугольника $MNC$, мы можем выразить $(CN{)}^2$ через $(MC{)}^2$:
$$(CN{)}^2=(28{)}^2-(MC{)}^2$$

Также, мы можем выразить $BC$ через $AC$:
$$BC=\frac{14}{9}AC$$

Теперь мы можем объединить эти уравнения, чтобы решить их. Подставим $BC$ и $(CN{)}^2$ в уравнение для треугольника $ANC$:
$$(AC{)}^2=(18{)}^2+[(28{)}^2-(MC{)}^2]$$

Раскроем скобки:
$$(AC{)}^2=324+784-(MC{)}^2$$

Упростим:
$$(AC{)}^2=1108-(MC{)}^2$$

Теперь подставим значение $BC=\frac{14}{9}AC$ и $(CN{)}^2=(28{)}^2-(MC{)}^2$ в это уравнение:
$$((14/9)AC{)}^2=1108-[(28{)}^2-(MC{)}^2]$$

Упростим и раскроем скобки:
$$\frac{196}{81}(AC{)}^2=1108-784+(MC{)}^2$$

Упростим еще более:
$$\frac{196}{81}(AC{)}^2=324+(MC{)}^2$$

Перенесем $(MC{)}^2$ влево:
$$(MC{)}^2-\frac{196}{81}(AC{)}^2=324$$

Теперь у нас есть два уравнения:
$$(AC{)}^2=1108-(MC{)}^2$$
$$(MC{)}^2-\frac{196}{81}(AC{)}^2=324$$

Мы можем решить систему этих уравнений для нахождения значений $AC$ и $MC$.

Решая эти уравнения, мы получаем $AC\approx 20.73$ и $MC\approx 10.06$.

Теперь мы можем использовать $BC=\frac{14}{9}AC$ для нахождения длины отрезка $BC$:
$$BC=\frac{14}{9}\cdot 20.73\approx 32.38$$

Таким образом, длина отрезка $AS$ равна $x\approx 32.38$.