Какова длина отрезка ас в треугольнике δ a b c, если на изображении два треугольника δ a b c и δ m a n и угол ∠ b

Обозначим длину отрезка \(AS\) как \(x\).

Из условия дано, что углы \(\angle BAC\) и \(\angle AMN\) равны, что подразумевает, что треугольники \(ABC\) и \(AMN\) подобны. Поэтому мы можем записать следующие пропорции:

\[\frac{AB}{AM} = \frac{BC}{MN} = \frac{AC}{AN}\]

Мы знаем, что \(AN = 18\) и \(MN = 28\), поэтому можем переписать пропорцию, связывающую стороны треугольников \(ABC\) и \(AMN\) следующим образом:

\[\frac{AB}{AM} = \frac{BC}{28} = \frac{AC}{18}\]

Вертикальные углы \(\angle C\) и \(\angle N\) равны 90 градусам, поскольку одна из сторон прямоугольного треугольника \(AMN\), следовательно, равна 90 градусам, и этот угол разделяет стороны \(AC\) и \(AN\). Таким образом, треугольники \(ANC\) и \(MNC\) являются прямоугольными треугольниками.

Мы можем использовать теорему Пифагора для этих треугольников:

В треугольнике \(ANC\):
\[(AC)^2 = (AN)^2 + (CN)^2\]

В треугольнике \(MNC\):
\[(CN)^2 = (MN)^2 - (MC)^2\]

Мы знаем, что \(AN = 18\) и \(MN = 28\) из условия. Также, поскольку угол \(\angle BAC\) равен \(\angle AMN\), то треугольники подобны и \(\frac{BC}{28} = \frac{AC}{18}\). Мы можем использовать это соотношение, чтобы выразить \(BC\) через \(AC\):
\[BC = \frac{28}{18} \cdot AC = \frac{14}{9} AC\]

Теперь мы можем приступить к решению уравнений.

Используем уравнение Пифагора для треугольника \(ANC\):
\[(AC)^2 = (18)^2 + (CN)^2\]

С помощью уравнения Пифагора для треугольника \(MNC\), мы можем выразить \((CN)^2\) через \((MC)^2\):
\[(CN)^2 = (28)^2 - (MC)^2\]

Также, мы можем выразить \(BC\) через \(AC\):
\[BC = \frac{14}{9} AC\]

Теперь мы можем объединить эти уравнения, чтобы решить их. Подставим \(BC\) и \((CN)^2\) в уравнение для треугольника \(ANC\):
\[(AC)^2 = (18)^2 + \left[ (28)^2 - (MC)^2 \right]\]

Раскроем скобки:
\[(AC)^2 = 324 + 784 - (MC)^2\]

Упростим:
\[(AC)^2 = 1108 - (MC)^2\]

Теперь подставим значение \(BC = \frac{14}{9} AC\) и \((CN)^2 = (28)^2 - (MC)^2\) в это уравнение:
\[((14/9) AC)^2 = 1108 - \left[ (28)^2 - (MC)^2 \right]\]

Упростим и раскроем скобки:
\[\frac{196}{81} (AC)^2 = 1108 - 784 + (MC)^2\]

Упростим еще более:
\[\frac{196}{81} (AC)^2 = 324 + (MC)^2\]

Перенесем \((MC)^2\) влево:
\[(MC)^2 - \frac{196}{81} (AC)^2 = 324\]

Теперь у нас есть два уравнения:
\[(AC)^2 = 1108 - (MC)^2\]
\[(MC)^2 - \frac{196}{81} (AC)^2 = 324\]

Мы можем решить систему этих уравнений для нахождения значений \(AC\) и \(MC\).

Решая эти уравнения, мы получаем \(AC \approx 20.73\) и \(MC \approx 10.06\).

Теперь мы можем использовать \(BC = \frac{14}{9} AC\) для нахождения длины отрезка \(BC\):
\[BC = \frac{14}{9} \cdot 20.73 \approx 32.38\]

Таким образом, длина отрезка \(AS\) равна \(x \approx 32.38\).