Как найти точку минимума функции y=x*корень x-3x+1?

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом. Для того, чтобы найти точку минимума функции, нам понадобится производная. Производная функции поможет нам найти места, где функция меняет своё поведение - точки экстремумов.

1. Начнем с нахождения производной функции. Для этого возьмем каждый член функции по отдельности и применим правила дифференцирования:
\[y = x \sqrt{x} - 3x + 1\]

Для первого члена \(x \sqrt{x}\) применим правило производной произведения функций (производная произведения функций равна произведению производных):
\[\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x \sqrt{x}) = \sqrt{x} + \frac{x}{2\sqrt{x}}\]

Для второго члена \(-3x\) производная будет просто \(-3\), так как производная постоянного множителя равна нулю.

Для третьего члена \(1\) производная будет равна нулю, так как производная постоянного числа также равна нулю.

Теперь соберем все части вместе:
\[\frac{dy}{dx} = \sqrt{x} + \frac{x}{2\sqrt{x}} - 3\]

2. Теперь найденную производную приравняем к нулю и решим полученное уравнение для нахождения точек экстремумов:
\[\sqrt{x} + \frac{x}{2\sqrt{x}} - 3 = 0\]

Для удобства можем заменить \(\sqrt{x}\) на \(t\):
\[t + \frac{t^2}{2t} - 3 = 0\]

После упрощения уравнения получаем:
\[t + \frac{t}{2} - 3 = 0\]

Домножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:
\[2t + t - 6 = 0\]

Объединим подобные члены:
\[3t - 6 = 0\]

Решим полученное уравнение:
\[3t = 6\]
\[t = 2\]

3. Теперь найдем значение \(x\), зная что \(t = \sqrt{x}\):
\[\sqrt{x} = 2\]

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
\[x = 4\]

Итак, мы получили \(x = 4\) как одно из значений, в котором производная равна нулю.

4. Теперь найдем значение \(y\) соответствующее точке минимума:
\[y = x \sqrt{x} - 3x + 1\]
\[y = 4 \sqrt{4} - 3 \cdot 4 + 1\]
\[y = 4 \cdot 2 - 12 + 1\]
\[y = 8 - 12 + 1\]
\[y = -3\]

Таким образом, точка минимума функции \(y = x \sqrt{x} - 3x + 1\) находится в точке \((4, -3)\).