Как найти специальное решение дифференциального уравнения y ln y

Question

Математика: Как найти специальное решение дифференциального уравнения y ln y * xy = 0, которое удовлетворяет начальному условию y(1) = e? Проверить ответ после нахождения решения

Oblako · Accepted Answer

Для нахождения специального решения данного дифференциального уравнения, сначала найдем его общее решение. Уравнение имеет вид:

y \ln (y) \cdot x y " " = 0

Перепишем его в эквивалентную форму:

\ln (y) \cdot x y " " = 0

Так как произведение равно нулю, то хотя бы одно из слагаемых должно быть равно нулю. Рассмотрим два случая:

1. Слагаемое

\ln (y)

равно нулю.

\ln (y) = 0

Решая это уравнение, получаем:

y = 1

2. Слагаемое

x y " "

равно нулю.

x y " " = 0

Решение этого уравнения имеет вид:

y (x) = C_{1} + C_{2} x

где

C_{1}

и

C_{2}

- произвольные постоянные.

Теперь рассмотрим начальное условие

y (1) = e

. Подставим

x = 1

и

y = e

в общее решение:

e = C_{1} + C_{2} \cdot 1

e = C_{1} + C_{2}

Из данного уравнения можно получить выражение для одной из постоянных. Вычтем из него уравнение

y = 1

:

e - 1 = C_{1} + C_{2} - (1 + C_{2})

e - 1 = C_{1}

Таким образом, мы нашли значения постоянных:

C_{1} = e - 1

и

C_{2} = 1

.

Итоговое специальное решение дифференциального уравнения будет иметь вид:

y (x) = e - 1 + x

Чтобы проверить правильность решения, подставим

y (x)

обратно в исходное дифференциальное уравнение и убедимся, что оно выполняется:

y \ln (y) \cdot x y " = (e - 1 + x) \ln (e - 1 + x) \cdot x \cdot 0 = 0

Получаем, что левая часть уравнения равна нулю, что соответствует исходному дифференциальному уравнению. Проверка успешно пройдена.

Таким образом, специальное решение дифференциального уравнения

y \ln (y) \cdot x y " = 0

с начальным условием

y (1) = e

равно

y (x) = e - 1 + x

.

Как найти специальное решение дифференциального уравнения y ln y * xy = 0, которое удовлетворяет начальному условию

Oblako

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!