Как найти специальное решение дифференциального уравнения y ln y * xy = 0, которое удовлетворяет начальному условию

Для нахождения специального решения данного дифференциального уравнения, сначала найдем его общее решение. Уравнение имеет вид:

\[y \ln(y) \cdot xy"" = 0\]

Перепишем его в эквивалентную форму:

\[\ln(y) \cdot xy"" = 0\]

Так как произведение равно нулю, то хотя бы одно из слагаемых должно быть равно нулю. Рассмотрим два случая:

1. Слагаемое \(\ln(y)\) равно нулю.

\[\ln(y) = 0\]

Решая это уравнение, получаем:

\[y = 1\]

2. Слагаемое \(xy""\) равно нулю.

\[xy"" = 0\]

Решение этого уравнения имеет вид:

\[y(x) = C_1 + C_2x\]

где \(C_1\) и \(C_2\) - произвольные постоянные.

Теперь рассмотрим начальное условие \(y(1) = e\). Подставим \(x = 1\) и \(y = e\) в общее решение:

\[e = C_1 + C_2 \cdot 1\]

\[e = C_1 + C_2\]

Из данного уравнения можно получить выражение для одной из постоянных. Вычтем из него уравнение \(y = 1\):

\[e - 1 = C_1 + C_2 - (1 + C_2)\]

\[e - 1 = C_1\]

Таким образом, мы нашли значения постоянных: \(C_1 = e - 1\) и \(C_2 = 1\).

Итоговое специальное решение дифференциального уравнения будет иметь вид:

\[y(x) = e - 1 + x\]

Чтобы проверить правильность решения, подставим \(y(x)\) обратно в исходное дифференциальное уравнение и убедимся, что оно выполняется:

\[y \ln(y) \cdot xy" = (e - 1 + x) \ln(e - 1 + x) \cdot x \cdot 0 = 0\]

Получаем, что левая часть уравнения равна нулю, что соответствует исходному дифференциальному уравнению. Проверка успешно пройдена.

Таким образом, специальное решение дифференциального уравнения \(y \ln(y) \cdot xy" = 0\) с начальным условием \(y(1) = e\) равно \(y(x) = e - 1 + x\).