Как найти решения тригонометрического уравнения 5cos^2x+6cosx−8=0? Какими значениями x являются корни данного

Давайте найдем решения данного тригонометрического уравнения пошагово.

Уравнение дано: \(5\cos^2x + 6\cos x - 8 = 0\).

1. Давайте заменим \(\cos x\) на \(t\). Тогда уравнение примет вид: \(5t^2 + 6t - 8 = 0\).

2. Теперь нам нужно решить получившееся квадратное уравнение. Для этого можно воспользоваться формулой дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 5\), \(b = 6\), \(c = -8\).

Вычислим дискриминант: \(D = 6^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 36 + 160 = 196\).

3. Дискриминант положительный (\(D > 0\)), поэтому у нас будет два различных вещественных корня.

4. Формула для нахождения корней квадратного уравнения: \(t = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}\).

Подставляем значения в формулу: \(t = \frac{{-6 \pm \sqrt{196}}}{{2 \cdot 5}}\).

5. Упрощаем выражение: \(t = \frac{{-6 \pm 14}}{{10}}\).

6. Получаем два значения для \(t\): \(t_1 = \frac{{-6 + 14}}{{10}} = \frac{{8}}{{10}} = 0.8\) и \(t_2 = \frac{{-6 - 14}}{{10}} = \frac{{-20}}{{10}} = -2\).

7. Теперь нам нужно вернуться к исходному уравнению. Заменяем \(t\) обратно на \(\cos x\).

Получаем два уравнения: \(\cos x_1 = 0.8\) и \(\cos x_2 = -2\).

8. Найдем значения \(x\), соответствующие данным значениям \(\cos x\), используя обратные тригонометрические функции.

Для \(\cos x_1 = 0.8\) получаем \(x_1 = \arccos 0.8\).

Для \(\cos x_2 = -2\) получаем \(x_2 = \arccos (-2)\).

9. Изобразим корни данного уравнения в виде математической формулы.

Корни уравнения: \(x_1 = \arccos 0.8\) и \(x_2 = \arccos (-2)\).

10. Запишем все значения \(x\), являющиеся корнями данного уравнения.

\(x_1 = \arccos 0.8 + 2\pi k\), где \(k\) - целое число.

\(x_2 = \arccos (-2) + 2\pi n\), где \(n\) - целое число.

Таким образом, все значения \(x\), являющиеся корнями уравнения, будут иметь вид: \(x = \arccos 0.8 + 2\pi k\) и \(x = \arccos (-2) + 2\pi n\), где \(k\) и \(n\) - целые числа.

Пожалуйста, обратите внимание, что в данном ответе использованы обратные тригонометрические функции. Некоторые значения могут быть вне диапазона области определения этих функций, поэтому необходимо убедиться в корректности решений.