Как найти решения тригонометрического уравнения 5cos^2x+6cosx−8=0? Какими значениями x являются корни данного

Давайте найдем решения данного тригонометрического уравнения пошагово.

Уравнение дано: $5{\cos }^{2}x+6\cos x-8=0$.

1. Давайте заменим $\cos x$ на $t$. Тогда уравнение примет вид: $5t^2+6t-8=0$.

2. Теперь нам нужно решить получившееся квадратное уравнение. Для этого можно воспользоваться формулой дискриминанта: $D=b^2-4ac$, где $a=5$, $b=6$, $c=-8$.

Вычислим дискриминант: $D=6^2-4\cdot 5\cdot (-8)=36+160=196$.

3. Дискриминант положительный ($D>0$), поэтому у нас будет два различных вещественных корня.

4. Формула для нахождения корней квадратного уравнения: $t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$.

Подставляем значения в формулу: $t=\frac{-6\pm \sqrt{196}}{2\cdot 5}$.

5. Упрощаем выражение: $t=\frac{-6\pm 14}{10}$.

6. Получаем два значения для $t$: $t_1=\frac{-6+14}{10}=\frac{8}{10}=0.8$ и $t_2=\frac{-6-14}{10}=\frac{-20}{10}=-2$.

7. Теперь нам нужно вернуться к исходному уравнению. Заменяем $t$ обратно на $\cos x$.

Получаем два уравнения: $\cos x_1=0.8$ и $\cos x_2=-2$.

8. Найдем значения $x$, соответствующие данным значениям $\cos x$, используя обратные тригонометрические функции.

Для $\cos x_1=0.8$ получаем $x_1=\arccos 0.8$.

Для $\cos x_2=-2$ получаем $x_2=\arccos (-2)$.

9. Изобразим корни данного уравнения в виде математической формулы.

Корни уравнения: $x_1=\arccos 0.8$ и $x_2=\arccos (-2)$.

10. Запишем все значения $x$, являющиеся корнями данного уравнения.

$x_1=\arccos 0.8+2\pi k$, где $k$ - целое число.

$x_2=\arccos (-2)+2\pi n$, где $n$ - целое число.

Таким образом, все значения $x$, являющиеся корнями уравнения, будут иметь вид: $x=\arccos 0.8+2\pi k$ и $x=\arccos (-2)+2\pi n$, где $k$ и $n$ - целые числа.

Пожалуйста, обратите внимание, что в данном ответе использованы обратные тригонометрические функции. Некоторые значения могут быть вне диапазона области определения этих функций, поэтому необходимо убедиться в корректности решений.