Как найти решение уравнения: f (x)/g (x)=0 при условии f(x)=2/3x^3-18x, g(x)=2корень?

Хорошо, давайте решим задачу по нахождению решения уравнения \(\frac{{f""(x)}}{{g""(x)}} = 0\), при условии \(f(x) = \frac{2}{3}x^3 - 18x\) и \(g(x) = 2\sqrt{x}\).

Сначала найдем первую и вторую производные для функций \(f(x)\) и \(g(x)\). Затем заменим эти значения в уравнении и решим его.

Функция \(f(x)\) дана, поэтому начнем с нахождения первой и второй производных.

Первая производная \(f"(x)\) может быть найдена как производная полинома. Рассчитаем ее:

\[ f"(x) = \frac{d}{dx}(\frac{2}{3}x^3 - 18x) \]

Используя правило дифференцирования для полиномов, получим:

\[ f"(x) = 2\cdot\frac{2}{3}x^{3-1} - 18\cdot\frac{d}{dx}(x) \]

Упрощая это выражение, получаем:

\[ f"(x) = \frac{4}{3}x^2 - 18 \]

Теперь рассчитаем вторую производную \(f""(x)\):

\[ f""(x) = \frac{d}{dx}(\frac{4}{3}x^2 - 18) \]

Применим правило дифференцирования для полиномов:

\[ f""(x) = 2\cdot\frac{4}{3}x^{2-1} - 0 \]

\[ f""(x) = \frac{8}{3}x \]

Теперь найдем первую и вторую производные для функции \(g(x)\):

Первая производная \(g"(x)\) для функции \(g(x) = 2\sqrt{x}\) может быть найдена с помощью правила дифференцирования для функций, содержащих корень:

\[ g"(x) = \frac{d}{dx}(2\sqrt{x}) \]

Используя правило дифференцирования для функции корня, получим:

\[ g"(x) = 2\cdot\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) \]

\[ g"(x) = 2\cdot\frac{1}{2}\sqrt{x^{-1}} \]

\[ g"(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \]

Наконец, рассчитаем вторую производную \(g""(x)\):

\[ g""(x) = \frac{d}{dx}(\frac{1}{\sqrt{x}}) \]

Применим правило дифференцирования для функции корня:

\[ g""(x) = -\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x^{-3}}} \]

\[ g""(x) = -\frac{1}{2}\frac{1}{x^{3/2}} \]

Теперь, когда у нас есть значения \(f""(x)\) и \(g""(x)\), мы можем заменить их обратно в уравнение \(\frac{{f""(x)}}{{g""(x)}} = 0\):

\[ \frac{{f""(x)}}{{g""(x)}} = \frac{{\frac{8}{3}x}}{{-\frac{1}{2}\frac{1}{x^{3/2}}}} \]

Упростим это выражение:

\[ \frac{{f""(x)}}{{g""(x)}} = -\frac{{16x^{5/2}}}{{3}} \]

Теперь, чтобы решить уравнение \(\frac{{f""(x)}}{{g""(x)}} = 0\), мы приравниваем его к нулю:

\[ -\frac{{16x^{5/2}}}{{3}} = 0 \]

Чтобы найти решение этого уравнения, мы делим обе стороны на -16:

\[ x^{5/2} = 0 \]

Так как любое число, возведенное в степень 0, равно 1, то получаем:

\[ x = 0 \]

Таким образом, решением уравнения \(\frac{{f""(x)}}{{g""(x)}} = 0\) при условии \(f(x) = \frac{2}{3}x^3 - 18x\) и \(g(x) = 2\sqrt{x}\) является \(x = 0\).