Как найти решение системы уравнений xy+3x-4y=12 и xy+2x-2y=9?

Для начала давайте решим эту систему уравнений методом уравнений, подставив одно уравнение в другое. Предположим, что у нас есть уравнение \(xy + 3x - 4y = 12\), и мы хотим подставить его во второе уравнение \(xy + 2x - 2y = 9\). Тогда, заменим \(xy\) во втором уравнении на \((12 - 3x + 4y)\), поскольку это выражение равно \(xy\) по первому уравнению.

Теперь у нас есть новое уравнение: \((12 - 3x + 4y) + 2x - 2y = 9\). Давайте объединим все подобные слагаемые и упростим уравнение:

\(-x + 2y + 12 = 9\).

Затем, перенесем 12 на другую сторону уравнения:

\(-x + 2y = 9 - 12\).

Это равносильно \(-x + 2y = -3\). Теперь у нас есть система уравнений:

\(\begin{cases} xy + 3x - 4y = 12 \\ -x + 2y = -3 \end{cases}\).

Мы можем решить эту систему уравнений, используя метод замещения или метод сложения и вычитания. В этом случае, давайте воспользуемся методом сложения и вычитания.

Для этого, умножим второе уравнение на 3, чтобы избавиться от коэффициента \(-x\):

\(\begin{cases} xy + 3x - 4y = 12 \\ -3x + 6y = -9 \end{cases}\).

Теперь сложим эти два уравнения:

\(\begin{cases} xy + 3x - 4y = 12 \\ xy + 3x - 4y + (-3x + 6y) = 12 + (-9) \end{cases}\).

Сократим все подобные слагаемые:

\(\begin{cases} xy + 3x - 4y = 12 \\ xy + 3x - 4y - 3x + 6y = 3 \end{cases}\).

Упростим уравнение:

\(\begin{cases} xy + 3x - 4y = 12 \\ xy + 2y = 3 \end{cases}\).

Теперь, чтобы избавиться от \(xy\) во втором уравнении, вычтем первое уравнение из него:

\(\begin{cases} xy + 3x - 4y = 12 \\ (xy + 2y) - (xy + 3x - 4y) = 3 - 12 \end{cases}\).

Сократим все подобные слагаемые:

\(\begin{cases} xy + 3x - 4y = 12 \\ 2y + 4x = -9 \end{cases}\).

Теперь у нас есть система уравнений:

\(\begin{cases} xy + 3x - 4y = 12 \\ 2y + 4x = -9 \end{cases}\).

Мы можем решить эту систему, используя метод субституции или метод Крамера. В данном случае, давайте воспользуемся методом субституции.

Из второго уравнения выразим \(y\):

\(2y = -4x - 9\).

Разделим оба выражения на 2:

\(y = -2x - \frac{9}{2}\).

Теперь подставим это значение \(y\) в первое уравнение:

\(x(-2x - \frac{9}{2}) + 3x - 4(-2x - \frac{9}{2}) = 12\).

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\(-2x^2 - 9x + 3x + 8x + 18 = 12\).

Соберем все слагаемые:

\(-2x^2 + 2x + 18 = 12\).

Перенесем 12 на другую сторону уравнения:

\(-2x^2 + 2x + 18 - 12 = 0\).

Упростим уравнение:

\(-2x^2 + 2x + 6 = 0\).

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Для этого мы можем использовать квадратное уравнение \( ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = -2\), \(b = 2\), и \(c = 6\).

Давайте применим квадратную формулу:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\].

Подставим значения \(a\), \(b\), и \(c\) в формулу:

\[x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(-2)(6)}}{2(-2)}\].

Вычислим дискриминант:

\[D = 2^2 - 4(-2)(6) = 4 + 48 = 52\].

Так как дискриминант \(D\) положителен, у уравнения есть два действительных корня.

Теперь подставим значения в квадратную формулу:

\[x = \frac{-2 \pm \sqrt{52}}{-4} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{13}}{-4}\].

Упростим выражение:

\[x = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{-2}\].

Таким образом, у нас есть два корня: \(x_1 = \frac{-1 + \sqrt{13}}{-2}\) и \(x_2 = \frac{-1 - \sqrt{13}}{-2}\).

Теперь подставим значения \(x\) в уравнение \(y = -2x - \frac{9}{2}\), чтобы найти соответствующие значения \(y\):

Подставим \(x_1\):

\[y_1 = -2 \cdot \frac{-1 + \sqrt{13}}{-2} - \frac{9}{2} = 1 + \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{9}{2} = -4 + \frac{\sqrt{13}}{2}\].

Подставим \(x_2\):

\[y_2 = -2 \cdot \frac{-1 - \sqrt{13}}{-2} - \frac{9}{2} = 1 - \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{9}{2} = -5 - \frac{\sqrt{13}}{2}\].

Таким образом, решение данной системы уравнений состоит из двух пар значений \(x\) и \(y\):

\(x_1 = \frac{-1 + \sqrt{13}}{-2}\), \(y_1 = -4 + \frac{\sqrt{13}}{2}\);

\(x_2 = \frac{-1 - \sqrt{13}}{-2}\), \(y_2 = -5 - \frac{\sqrt{13}}{2}\).

Надеюсь, этот подробный и шаг за шагом решение помогло вам понять, как найти решение данной системы уравнений.