Как найти решение системы уравнений xy+3x-4y=12 и xy+2x-2y=9?

Для начала давайте решим эту систему уравнений методом уравнений, подставив одно уравнение в другое. Предположим, что у нас есть уравнение $xy+3x-4y=12$, и мы хотим подставить его во второе уравнение $xy+2x-2y=9$. Тогда, заменим $xy$ во втором уравнении на $(12-3x+4y)$, поскольку это выражение равно $xy$ по первому уравнению.

Теперь у нас есть новое уравнение: $(12-3x+4y)+2x-2y=9$. Давайте объединим все подобные слагаемые и упростим уравнение:

$-x+2y+12=9$.

Затем, перенесем 12 на другую сторону уравнения:

$-x+2y=9-12$.

Это равносильно $-x+2y=-3$. Теперь у нас есть система уравнений:

$\{\begin{array}{l}xy+3x-4y=12\\ -x+2y=-3\end{array}$.

Мы можем решить эту систему уравнений, используя метод замещения или метод сложения и вычитания. В этом случае, давайте воспользуемся методом сложения и вычитания.

Для этого, умножим второе уравнение на 3, чтобы избавиться от коэффициента $-x$:

$\{\begin{array}{l}xy+3x-4y=12\\ -3x+6y=-9\end{array}$.

Теперь сложим эти два уравнения:

$\{\begin{array}{l}xy+3x-4y=12\\ xy+3x-4y+(-3x+6y)=12+(-9)\end{array}$.

Сократим все подобные слагаемые:

$\{\begin{array}{l}xy+3x-4y=12\\ xy+3x-4y-3x+6y=3\end{array}$.

Упростим уравнение:

$\{\begin{array}{l}xy+3x-4y=12\\ xy+2y=3\end{array}$.

Теперь, чтобы избавиться от $xy$ во втором уравнении, вычтем первое уравнение из него:

$\{\begin{array}{l}xy+3x-4y=12\\ (xy+2y)-(xy+3x-4y)=3-12\end{array}$.

Сократим все подобные слагаемые:

$\{\begin{array}{l}xy+3x-4y=12\\ 2y+4x=-9\end{array}$.

Теперь у нас есть система уравнений:

$\{\begin{array}{l}xy+3x-4y=12\\ 2y+4x=-9\end{array}$.

Мы можем решить эту систему, используя метод субституции или метод Крамера. В данном случае, давайте воспользуемся методом субституции.

Из второго уравнения выразим $y$:

$2y=-4x-9$.

Разделим оба выражения на 2:

$y=-2x-\frac{9}{2}$.

Теперь подставим это значение $y$ в первое уравнение:

$x(-2x-\frac{9}{2})+3x-4(-2x-\frac{9}{2})=12$.

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$-2x^2-9x+3x+8x+18=12$.

Соберем все слагаемые:

$-2x^2+2x+18=12$.

Перенесем 12 на другую сторону уравнения:

$-2x^2+2x+18-12=0$.

Упростим уравнение:

$-2x^2+2x+6=0$.

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Для этого мы можем использовать квадратное уравнение $a{x}^2+bx+c=0$, где $a=-2$, $b=2$, и $c=6$.

Давайте применим квадратную формулу:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$.

Подставим значения $a$, $b$, и $c$ в формулу:

$$x=\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4(-2)(6)}}{2(-2)}$$.

Вычислим дискриминант:

$$D=2^2-4(-2)(6)=4+48=52$$.

Так как дискриминант $D$ положителен, у уравнения есть два действительных корня.

Теперь подставим значения в квадратную формулу:

$$x=\frac{-2\pm \sqrt{52}}{-4}=\frac{-2\pm 2\sqrt{13}}{-4}$$.

Упростим выражение:

$$x=\frac{-1\pm \sqrt{13}}{-2}$$.

Таким образом, у нас есть два корня: $x_1=\frac{-1+\sqrt{13}}{-2}$ и $x_2=\frac{-1-\sqrt{13}}{-2}$.

Теперь подставим значения $x$ в уравнение $y=-2x-\frac{9}{2}$, чтобы найти соответствующие значения $y$:

Подставим $x_1$:

$$y_1=-2\cdot \frac{-1+\sqrt{13}}{-2}-\frac{9}{2}=1+\frac{\sqrt{13}}{2}-\frac{9}{2}=-4+\frac{\sqrt{13}}{2}$$.

Подставим $x_2$:

$$y_2=-2\cdot \frac{-1-\sqrt{13}}{-2}-\frac{9}{2}=1-\frac{\sqrt{13}}{2}-\frac{9}{2}=-5-\frac{\sqrt{13}}{2}$$.

Таким образом, решение данной системы уравнений состоит из двух пар значений $x$ и $y$:

$x_1=\frac{-1+\sqrt{13}}{-2}$, $y_1=-4+\frac{\sqrt{13}}{2}$;

$x_2=\frac{-1-\sqrt{13}}{-2}$, $y_2=-5-\frac{\sqrt{13}}{2}$.

Надеюсь, этот подробный и шаг за шагом решение помогло вам понять, как найти решение данной системы уравнений.