Как найти производную функции y= 5x^2 - 2√x + sin π/4 и получить детальное решение?

Хорошо, давайте решим данную задачу. Мы должны найти производную функции \( y = 5x^2 - 2\sqrt{x} + \sin(\pi/4) \).

Для нахождения производной данной функции, мы будем использовать правила дифференцирования и основные свойства производных.

Шаг 1: Найдем производную каждого слагаемого:

Для первого слагаемого, \( 5x^2 \), применяя правило дифференцирования слагаемых, получаем \(\frac{d}{dx}(5x^2) = 5 \cdot 2x = 10x\).

Для второго слагаемого, \( -2\sqrt{x} \), применяя правило дифференцирования квадратного корня, получаем \(\frac{d}{dx}(-2\sqrt{x}) = -2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{1}{\sqrt{x}}\).

Для третьего слагаемого, \( \sin(\pi/4) \), мы знаем, что производная синуса равна косинусу, так что \(\frac{d}{dx}(\sin(\pi/4)) = \cos(\pi/4)\).

Шаг 2: Сложим найденные производные слагаемых, чтобы получить итоговую производную функции. Получаем:

\[
\frac{d}{dx}(y) = \frac{d}{dx}(5x^2 - 2\sqrt{x} + \sin(\pi/4)) = 10x - \frac{1}{\sqrt{x}} + \cos(\pi/4)
\]

Шаг 3: Приведем полученный ответ к более простому виду.

Для второго слагаемого, \(-\frac{1}{\sqrt{x}}\), мы можем заменить корень на степень \(-\frac{1}{2}\), тогда получится \(-\frac{1}{x^{1/2}}\).

Также, \(\cos(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Обновленный ответ имеет вид:

\[
\frac{d}{dx}(y) = 10x - \frac{1}{x^{1/2}} + \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Таким образом, сама производная функции \( y = 5x^2 - 2\sqrt{x} + \sin(\pi/4) \) равна \( 10x - \frac{1}{x^{1/2}} + \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Я надеюсь, что это подробное решение помогло вам понять, как найти производную данной функции. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.