Как найти предел функции, давая подробное описание шагов решения (указывая формулы и записывая промежуточные

Хорошо, чтобы найти предел функции, мы можем использовать различные методы, такие как подстановка, использование арифметических свойств пределов, правило Хопиталя, разложение в ряд Тейлора и другие. Давайте рассмотрим один из наиболее распространенных методов - метод подстановки.

Предположим, у нас есть функция \(f(x)\) и нам нужно найти предел этой функции по мере \(x\) стремится к некоторому значению \(a\), то есть \(x \to a\).

Шаг 1: Начнем с записи максимально подробного выражения для функции \(f(x)\). Например, пусть нам нужно найти предел функции \(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\) при \(x \to 1\).

Шаг 2: Подставим \(x = a\) в выражение функции и вычислим предел. То есть, заменим \(x\) на \(a\) в выражении функции, что даст нам:

\[f(a) = \frac{a^2 - 1}{a - 1}\]

Шаг 3: Проанализируем получившееся выражение и попробуем упростить его. В данном случае, мы можем заметить, что числитель и знаменатель содержат фактор \((a - 1)\). Поэтому мы можем сократить этот фактор:

\[f(a) = \frac{(a + 1)(a - 1)}{a - 1}\]

Шаг 4: Для получения более точного ответа, мы можем сократить общий фактор \((a - 1)\):

\[f(a) = a + 1\]

Шаг 5: Теперь, когда мы упростили выражение функции, мы можем найти предел функции. Просто заменим \(a\) на \(x\) и записываем результат:

\[\lim_{{x \to 1}} f(x) = \lim_{{x \to 1}} (x + 1) = 1 + 1 = 2\]

Таким образом, предел функции \(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\) при \(x \to 1\) равен 2.

Метод подстановки - это один из простых и прямолинейных способов нахождения предела функции, когда значение \(a\) легко подставляется в выражение функции. Однако следует помнить, что в некоторых случаях этот метод может быть неприменим, и вам может потребоваться использовать другие методы для нахождения предела функции.