Как найти последние две цифры суммы (от 2017 до 0) + 4 (от 2017 до 1) + 16 (от 2017 до 2) + ⋯ + 4 в степени 2017

Чтобы найти последние две цифры этой суммы, давайте рассмотрим сначала первую часть выражения: $\text{(от 2017 до 0)}$.

Когда мы суммируем числа от 2017 до 0, мы получаем следующую арифметическую прогрессию: 2017 + 2016 + 2015 + ... + 1 + 0.

Чтобы найти сумму этой прогрессии, мы можем воспользоваться формулой суммы арифметической прогрессии:
$$S=\frac{n}{2}\cdot (a+b),$$
где $n$ - количество членов прогрессии, $a$ - первый член, а $b$ - последний член.

В нашем случае $n=2018$, так как мы суммируем числа от 2017 до 0. Подставляя значения в формулу, получаем:
$$S_1=\frac{2018}{2}\cdot (2017+0)=1009\cdot 2017=2,036,153.$$

Теперь рассмотрим вторую часть выражения: $\text{(от 2017 до 1)}$.

Аналогичным образом суммируем числа от 2017 до 1. Здесь $n=2017$, так как мы не включаем 0. Следовательно:
$$S_2=\frac{2017}{2}\cdot (2017+1)=1,018\cdot 2018=2,051,524.$$

Последняя часть выражения: $16\cdot 4^{2017}$.

Мы можем заметить, что степень 4 повторяется с двух последних цифр 56 раз в регулярных интервалах: 4, 16, 64, 56, 24 и т.д.

Поскольку $2017=56\times 36+17$, остаток от деления 2017 на 56 равен 17. Это означает, что степень 4 повторится 17 раз с двух последних цифр.

Теперь можем вычислить $16\cdot 4^{2017}$ с двумя последними цифрами степени 4:
$$16\cdot 4^{2017}=16\cdot (4^{56}{)}^{36}\cdot 4^{17}=16\cdot {56}^{36}\cdot 4^{17}.$$

Для нахождения двух последних цифр этого выражения, нам необходимо взять остаток от деления $16\cdot {56}^{36}$ на 100.

Чтобы упростить расчеты, рассмотрим следующую таблицу с остатками от деления степени 56 на 100:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{Степень}& \text{Остаток}\\ {56}^0& 1\\ {56}^1& 56\\ {56}^2& 36\\ {56}^3& 16\\ {56}^4& 96\\ {56}^5& 76\\ \hline\end{array}$$

Поскольку мы знаем, что ${56}^4$ имеет остаток 96, можем сделать вывод, что ${56}^{36}$ также имеет остаток 96 при делении на 100.

Теперь можем рассчитать $16\cdot {56}^{36}$ с двумя последними цифрами остатка 96:
$$16\cdot {56}^{36}\equiv 16\cdot 96\equiv 1536(\mathrm{mod}100).$$

Таким образом, последние две цифры выражения $16\cdot 4^{2017}$ равны 36.

Теперь нужно найти сумму $S_1+S_2+16\cdot 4^{2017}$.

$$S_1+S_2+16\cdot 4^{2017}=2,036,153+2,051,524+36=4,087,713.$$

Последние две цифры этой суммы равны 13.

Таким образом, последние две цифры исходного выражения равны 13.