Как найти последние две цифры суммы (от 2017 до 0) + 4 (от 2017 до 1) + 16 (от 2017 до 2) + ⋯ + 4 в степени 2017

Чтобы найти последние две цифры этой суммы, давайте рассмотрим сначала первую часть выражения: \( \text{(от 2017 до 0)} \).

Когда мы суммируем числа от 2017 до 0, мы получаем следующую арифметическую прогрессию: 2017 + 2016 + 2015 + ... + 1 + 0.

Чтобы найти сумму этой прогрессии, мы можем воспользоваться формулой суммы арифметической прогрессии:
\[ S = \frac{n}{2} \cdot (a + b), \]
где \( n \) - количество членов прогрессии, \( a \) - первый член, а \( b \) - последний член.

В нашем случае \( n = 2018 \), так как мы суммируем числа от 2017 до 0. Подставляя значения в формулу, получаем:
\[ S_1 = \frac{2018}{2} \cdot (2017 + 0) = 1009 \cdot 2017 = 2,036,153. \]

Теперь рассмотрим вторую часть выражения: \( \text{(от 2017 до 1)} \).

Аналогичным образом суммируем числа от 2017 до 1. Здесь \( n = 2017 \), так как мы не включаем 0. Следовательно:
\[ S_2 = \frac{2017}{2} \cdot (2017 + 1) = 1,018 \cdot 2018 = 2,051,524. \]

Последняя часть выражения: \( 16 \cdot 4^{2017} \).

Мы можем заметить, что степень 4 повторяется с двух последних цифр 56 раз в регулярных интервалах: 4, 16, 64, 56, 24 и т.д.

Поскольку \( 2017 = 56 \times 36 + 17 \), остаток от деления 2017 на 56 равен 17. Это означает, что степень 4 повторится 17 раз с двух последних цифр.

Теперь можем вычислить \( 16 \cdot 4^{2017} \) с двумя последними цифрами степени 4:
\[ 16 \cdot 4^{2017} = 16 \cdot (4^{56})^{36} \cdot 4^{17} = 16 \cdot 56^{36} \cdot 4^{17}. \]

Для нахождения двух последних цифр этого выражения, нам необходимо взять остаток от деления \( 16 \cdot 56^{36} \) на 100.

Чтобы упростить расчеты, рассмотрим следующую таблицу с остатками от деления степени 56 на 100:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Степень} & \text{Остаток} \\
\hline
56^0 & 1 \\
56^1 & 56 \\
56^2 & 36 \\
56^3 & 16 \\
56^4 & 96 \\
56^5 & 76 \\
\hline
\end{array}
\]

Поскольку мы знаем, что \( 56^4 \) имеет остаток 96, можем сделать вывод, что \( 56^{36} \) также имеет остаток 96 при делении на 100.

Теперь можем рассчитать \( 16 \cdot 56^{36} \) с двумя последними цифрами остатка 96:
\[ 16 \cdot 56^{36} \equiv 16 \cdot 96 \equiv 1536 \pmod{100}. \]

Таким образом, последние две цифры выражения \( 16 \cdot 4^{2017} \) равны 36.

Теперь нужно найти сумму \( S_1 + S_2 + 16 \cdot 4^{2017} \).

\[ S_1 + S_2 + 16 \cdot 4^{2017} = 2,036,153 + 2,051,524 + 36 = 4,087,713. \]

Последние две цифры этой суммы равны 13.

Таким образом, последние две цифры исходного выражения равны 13.