1) Исследуйте целую рациональную функцию f(x): а) Определите максимальное и минимальное значение на интервале -2

Задача 1:

а) Чтобы найти максимальное и минимальное значение функции на заданном интервале, нам необходимо найти экстремумы функции \(f(x)\) и проверить их значения на данном интервале. Чтобы найти экстремумы, необходимо решить уравнение \(f"(x) = 0\), где \(f"(x)\) - производная функции \(f(x)\).

Затем, найденные значения подставляем в исходную функцию и сравниваем их значения. Минимальное значение функции будет соответствовать наименьшему значению, а максимальное - наибольшему значению.

б) Чтобы построить график функции, нужно проанализировать ее поведение на данном интервале. Для этого можно использовать следующие шаги:
1. Найти точки пересечения функции с осью абсцисс (y=0).
2. Определить знак функции на каждом из интервалов, образованных точками пересечения. Для этого берем произвольную точку внутри каждого интервала и подставляем ее значение в функцию. Если полученное значение положительное, то функция положительна на данном интервале, если отрицательное - функция отрицательна.
3. Проверить как функция ведет себя в окрестностях точек разрыва, если они есть. Возможные виды точек разрыва: точки разрыва первого рода (вертикальные и скачкообразные разрывы) и точки разрыва второго рода (устранимые и неустранимые разрывы).
4. Нанести на график найденные точки пересечения с осью абсцисс и определенные интервалы знакопостоянства. Обратите внимание на поведение функции вблизи точек разрыва.

Задача 2:

Для анализа функции и построения ее графика, вам необходимо выполнить следующие действия:
1. Определить область определения функции (множество всех допустимых значений аргумента x).
2. Найти точки пересечения функции с осью абсцисс (y=0) и с осью ординат (x=0), если таковые есть.
3. Найти производную функции \(f"(x)\) и найти ее нули (корни уравнения \(f"(x) = 0\)), которые являются точками экстремума функции или точками разрыва функции (если они есть).
4. Исследуйте знак производной в окрестностях найденных точек экстремума или разрыва. На основе этой информации можно определить, в каких интервалах функция возрастает, убывает или имеет экстремумы.
5. Постройте график функции, отображая на нем найденные точки пересечения с осями, точки экстремума, точки разрыва и интервалы изменения знака функции.

Задача 3:

а) Чтобы найти точки разрыва функций, необходимо найти значения аргумента x, при которых функция не определена или имеет разрыв. Это могут быть значения x, для которых знаменатель в рациональной функции равен нулю или функция имеет вертикальный асимптот.
б) Чтобы найти односторонние пределы функции в точках разрыва, нужно найти пределы функции, когда x стремится к значению точки разрыва справа и слева. Для вертикальных асимптот нужно найти пределы функции, когда x стремится к значению точки разрыва справа и слева.
в) Для построения графика функции нужно учесть точки разрыва и их типы, а также поведение функции в окрестностях этих точек. Также можно добавить в график особенности функции, такие как точки пересечения с осями координат, экстремумы и т.п.

Задача 4:

Для нахождения максимального и минимального значения функции необходимо выполнить следующие шаги:
1. Запишите функцию в явном виде или задайте ее аналитическим выражением.
2. Найдите точки экстремума функции, решив уравнение \(f"(x) = 0\), где \(f"(x)\) - производная функции \(f(x)\).
3. Найдите значения функции в найденных точках экстремума, а также на границах области определения функции (если она задана на интервале).
4. Сравните найденные значения и определите максимальное и минимальное значение функции.

Надеюсь, эти пошаговые инструкции помогут вам полностью выполнить задачи и лучше понять материал по этой теме. Если у вас возникнут дополнительные вопросы или вам нужно более подробное объяснение, не стесняйтесь задавать!