Как найти наибольшее и наименьшее значения функции y=корень из 81-x^2, не применяя производную?

Хорошо, начнем с решения задачи без использования производной. Нам дана функция \(y = \sqrt{81 - x^2}\), и нам нужно найти наибольшее и наименьшее значения этой функции.

Для начала, давайте проанализируем область определения функции. Очевидно, что подкоренное выражение \(81 - x^2\) должно быть неотрицательным, поскольку мы не можем извлекать квадратный корень из отрицательного числа. Таким образом, имеем неравенство:

\[81 - x^2 \geq 0\]

При решении этого неравенства получаем:

\[x^2 \leq 81\]

\[|x| \leq 9\]

Таким образом, областью определения функции является интервал \([-9, 9]\).

Теперь перейдем к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции. Для этого необходимо проанализировать поведение функции внутри этого интервала.

Давайте начнем с нахождения наименьшего значения. Функция \(\sqrt{81 - x^2}\) представляет из себя положительный квадратный корень. Положительный корень всегда положителен или равен нулю, поэтому наименьшего значения функция достигает, когда корень равен нулю, то есть когда \(81 - x^2 = 0\). Решая это уравнение, получаем \(x = \pm 9\). Однако, мы уже установили, что областью определения функции является интервал \([-9, 9]\), поэтому наименьшее значение функции достигается в точке \(x = -9\) (так как при \(x = -9\) значение подкоренного выражения будет равно нулю, а при \(x = 9\) функция не определена в силу отрицательного значения подкоренного выражения).

Таким образом, минимальное значение функции \(y = \sqrt{81 - x^2}\) равно \(y_{min} = 0\) при \(x = -9\).

Теперь перейдем к нахождению наибольшего значения функции. Поскольку функция представляет из себя положительный квадратный корень, то наибольшего значения функция достигает в точке \(x = 0\) (при \(x = 0\) значение подкоренного выражения достигает максимума). Подставляя \(x = 0\) в функцию, получаем \(y_{max} = \sqrt{81 - 0^2} = 9\).

Таким образом, максимальное значение функции \(y = \sqrt{81 - x^2}\) равно \(y_{max} = 9\) при \(x = 0\).

Итак, наименьшее значение функции равно 0 и достигается при \(x = -9\), а наибольшее значение функции равно 9 и достигается при \(x = 0\).