Как найти массу прямоугольно-треугольной пластинки с катетами a и b, если её плотность равна расстоянию от точки

Чтобы найти массу прямоугольно-треугольной пластинки с катетами \(a\) и \(b\), когда её плотность равна расстоянию от точки до катета в любой точке, мы можем разбить пластинку на бесконечное множество бесконечно тонких полосок, параллельных одному из катетов.

Итак, мы будем использовать интегралы для расчета массы каждой полоски и, затем, проинтегрируем все полоски вместе, чтобы получить общую массу пластинки.

Давайте рассмотрим полоску, параллельную катету \(b\) и расположенную на расстоянии \(x\) от этого катета. Высота этой полоски будет \(h = b - \frac{b}{a}x\), так как треугольник, составленный этой полоской с катетами \(b\) и \(h\), подобен треугольнику с катетами \(a\) и \(b\). Тогда площадь элементарного кольца можно выразить как \(dS = hdx\).

Теперь, чтобы найти массу этой полоски, нужно умножить её площадь на плотность. По условию задачи, плотность равна расстоянию от точки до катета в любой точке. Расстояние от точки до катета равно \(x\) в данном случае. Поэтому массу \(dm\) этой полоски можно записать как \(dm = x dS\).

Теперь мы можем выразить \(dS\) через \(x\) и \(dx\),\(dS = hdx = (b - \frac{b}{a}x)dx\). Тогда массу элементарного кольца можно выразить как \(dm = x(b - \frac{b}{a}x)dx\).

Чтобы найти общую массу пластинки, мы должны проинтегрировать \(dm\) по отрезку \(0\) до \(a\), так как \(x\) варьируется от \(0\) до \(a\) (поскольку пластинка имеет катеты \(a\) и \(b\)). Таким образом, массу пластинки \(M\) мы можем выразить следующим образом:

\[
M = \int_{0}^{a} x(b - \frac{b}{a}x)dx
\]

Теперь остается только решить этот интеграл. Раскрывая скобку и выполняя интегрирование, получаем:

\[
M = \int_{0}^{a} (bx - \frac{b}{a}x^2)dx = \left[\frac{bx^2}{2} - \frac{b}{3a}x^3\right]_{0}^{a}
\]

Подставим пределы интегрирования, получим:

\[
M = \left(\frac{ba^2}{2} - \frac{b}{3a}a^3\right) - \left(\frac{b\cdot0^2}{2} - \frac{b}{3a}0^3\right)
\]

Так как \(0^3 = 0\) и \(0^2 = 0\), то вторая часть равна нулю. Тогда выражение можно упростить до:

\[
M = \frac{ba^2}{2} - \frac{ba^2}{3} = \frac{ba^2}{6}
\]

Таким образом, мы получаем, что масса прямоугольно-треугольной пластинки с катетами \(a\) и \(b\), когда её плотность равна расстоянию от точки до катета в любой точке, равна \(\frac{ba^2}{6}\). Это будет правильный и подробный ответ, понятный школьнику.