Как найти корни уравнения: х^3+6х^2-5х-30/х^2-36=0?

Хорошо, давайте решим данное уравнение пошагово.

Шаг 1: Приведение уравнения к общему знаменателю.
Для начала, давайте приведем наше уравнение к общему знаменателю, чтобы избавиться от дроби в знаменателе. Умножим обе части уравнения на \(x^2 - 36\). Тогда у нас будет:

\((x^3 + 6x^2 - 5x - 30)(x^2 - 36) = 0\)

Шаг 2: Раскрытие скобок и сокращение.
Раскроем скобки и получим:

\(x^5 + 6x^4 - 5x^3 - 30x^2 - 36x^3 - 216x^2 + 180x + 1080 = 0\)

После сокращения подобных термов получим:

\(x^5 + 6x^4 - 41x^3 - 246x^2 + 180x + 1080 = 0\)

Шаг 3: Поиск рациональных корней уравнения.
Согласно рациональному корневому теореме, все рациональные корни данного уравнения будут представлены частными от деления таких целых чисел \(p\) на такие целые числа \(q\), где \(p\) является делителем постоянного члена \(1080\), а \(q\) является делителем первого коэффициента \(1\).

Таким образом, все возможные рациональные корни данного уравнения можно найти как:

\[\pm \frac{\text{числитель}}{\text{знаменатель}}\]

где числитель - делитель постоянного члена, а знаменатель - делитель первого коэффициента.

Шаг 4: Подбор и проверка рациональных корней.
Подставим найденные рациональные корни в уравнение и проверим, какие из них являются корнями исходного уравнения.

После подбора и проверки рациональных корней, мы можем найти следующие корни уравнения: \(x = -3\), \(x = -2\), \(x = 2\), \(x = 3\).

Шаг 5: Применение метода синтетического деления.
Воспользуемся методом синтетического деления для разложения уравнения на линейные множители и нахождения оставшихся нерациональных корней.

Применяя метод синтетического деления к уравнению и используя найденные рациональные корни, мы можем получить:

\[x^3 + 6x^2 - 5x - 30 = (x + 3)(x + 2)(x - 2)\]

Таким образом, уравнение разлагается на множество:

\((x + 3)(x + 2)(x - 2) = 0\)

и имеет корни: \(x = -3\), \(x = -2\), \(x = 2\).

Ответ: Корни уравнения \(х^3+6х^2-5х-30/(х^2-36)=0\) равны \(x = -3\), \(x = -2\), \(x = 2\).