Как найти корни уравнения: х^3+6х^2-5х-30/х^2-36=0?

Хорошо, давайте решим данное уравнение пошагово.

Шаг 1: Приведение уравнения к общему знаменателю.
Для начала, давайте приведем наше уравнение к общему знаменателю, чтобы избавиться от дроби в знаменателе. Умножим обе части уравнения на $x^2-36$. Тогда у нас будет:

$(x^3+6x^2-5x-30)(x^2-36)=0$

Шаг 2: Раскрытие скобок и сокращение.
Раскроем скобки и получим:

$x^5+6x^4-5x^3-30x^2-36x^3-216x^2+180x+1080=0$

После сокращения подобных термов получим:

$x^5+6x^4-41x^3-246x^2+180x+1080=0$

Шаг 3: Поиск рациональных корней уравнения.
Согласно рациональному корневому теореме, все рациональные корни данного уравнения будут представлены частными от деления таких целых чисел $p$ на такие целые числа $q$, где $p$ является делителем постоянного члена $1080$, а $q$ является делителем первого коэффициента $1$.

Таким образом, все возможные рациональные корни данного уравнения можно найти как:

$$\pm \frac{\text{числитель}}{\text{знаменатель}}$$

где числитель - делитель постоянного члена, а знаменатель - делитель первого коэффициента.

Шаг 4: Подбор и проверка рациональных корней.
Подставим найденные рациональные корни в уравнение и проверим, какие из них являются корнями исходного уравнения.

После подбора и проверки рациональных корней, мы можем найти следующие корни уравнения: $x=-3$, $x=-2$, $x=2$, $x=3$.

Шаг 5: Применение метода синтетического деления.
Воспользуемся методом синтетического деления для разложения уравнения на линейные множители и нахождения оставшихся нерациональных корней.

Применяя метод синтетического деления к уравнению и используя найденные рациональные корни, мы можем получить:

$$x^3+6x^2-5x-30=(x+3)(x+2)(x-2)$$

Таким образом, уравнение разлагается на множество:

$(x+3)(x+2)(x-2)=0$

и имеет корни: $x=-3$, $x=-2$, $x=2$.

Ответ: Корни уравнения ${х}^3+6{х}^2-5х-30/({х}^2-36)=0$ равны $x=-3$, $x=-2$, $x=2$.