Как найти корни уравнения ∫(3*2+x^2+(4x-16))dx/3 с корнем из x^2-3x+2?

Чтобы найти корни данного уравнения, мы должны найти значения \(x\), при которых уравнение будет выполняться. Для этого нам необходимо произвести упрощение и решить уравнение путем факторизации.

Давайте начнем, раскрыв скобки и упростив выражение. Мы имеем уравнение вида:
\[\int \frac{{3 \cdot 2 + x^2 + 4x - 16}}{3} \, dx = 0\]

Упрощая числовую часть, получим:
\[\int \frac{{6 + x^2 + 4x - 16}}{3} \, dx = 0\]
\[\int \frac{{x^2 + 4x - 10}}{3} \, dx = 0\]

Теперь у нас есть интеграл, который нужно решить. Заметим, что данное уравнение содержит корень из второго уравнения \(x^2 - 3x + 2\). Давайте найдем корни этого уравнения.

Для начала, давайте решим уравнение \(x^2 - 3x + 2 = 0\) находим его корни с помощью квадратного трехчлена или методом разложения на множители.
\(x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a}\)
где a=1, b=-3 и c=2 в нашем уравнении.

Решая это уравнение мы получаем:
\[x_1 = 1\]
\[x_2 = 2\]

Таким образом, у нас есть два корня равных 1 и 2.

Теперь, чтобы решить исходное интегральное уравнение, мы видим, что интеграл от функции должен равняться 0. То есть:
\[\int \frac{{x^2 + 4x - 10}}{3} \, dx = 0\]

Мы можем разбить этот интеграл на несколько слагаемых и решать их по отдельности. Давайте разложим функцию на простые дроби или выполняющийся методом частичной дробей.
\[\int \frac{{Ax + B}}{{x^2 - 3x + 2}} \, dx + \int \frac{C}{3} \, dx = 0\]

Теперь мы можем интегрировать каждое слагаемое по отдельности. Найдем первое слагаемое:

Для \(\int \frac{{Ax + B}}{{x^2 - 3x + 2}} \, dx\) в числителе \(Ax + B\) имеем уравнение \(x^2 + 4x - 10\). То есть:
\(Ax + B = x^2 + 4x - 10\)

Раскрывая скобки, получаем:
\(Ax + B = x^2 + 4x - 10\)
\(Ax + B = (x - 1)(x - 2)\)

Сравнивая коэффициенты перед \(x\), мы получаем систему уравнений:
\(A = 1\)
\(4A + B = -2\)

Решая эту систему уравнений, мы получаем:
\(A = 1\)
\(B = -6\)

Теперь мы можем переписать наш интеграл следующим образом:
\[\int \frac{{x - 6}}{{x^2 - 3x + 2}} \, dx + \int \frac{C}{3} \, dx = 0\]

Рассчитаем второе слагаемое \(\int \frac{C}{3} \, dx\):
\(\frac{C}{3} x\)

Итак, наше уравнение становится:
\[\int \frac{{x - 6}}{{x^2 - 3x + 2}} \, dx + \frac{C}{3} x = 0\]

Теперь мы можем проинтегрировать каждое слагаемое:
\[\ln|x^2 - 3x + 2| + \frac{C}{6} x^2 + C_1 = 0\]

Приравняв выражение к нулю, мы можем решить его для объединения общего решения:
\[\ln|x^2 - 3x + 2| + \frac{C}{6} x^2 = -C_1\]

Таким образом, мы нашли общее решение данного уравнения. Теперь, чтобы найти конкретное решение уравнения, мы должны использовать начальные условия или уточнить значения постоянных \(C\) и \(C_1\).

Надеюсь, этот пошаговый процесс помог вам понять, как решать данный тип уравнений. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать!