Як можна представити число 24 у вигляді суми трьох додатніх чисел так, щоб співвідношення першого числа до другого було

Щоб знайти відповідь на цю задачу, спочатку розглянемо співвідношення між першим і другим числами. Нехай перше число буде \(x\), а друге число - \(2x\). Третє число буде позначатися як \(y\).

За умовою задачі, сума цих трьох чисел повинна дорівнювати 24:

\[x + 2x + y = 24\]

Спростивши це рівняння, ми отримуємо:

\[3x + y = 24\]

Тепер розглянемо другу умову задачі. Нам потрібно знайти такі значення \(x\), \(2x\) і \(y\), які мінімізують суму кубів першого і другого числа, а також квадрату третього числа. Для цього ми можемо сформулювати наступну функцію:

\[f(x) = x^3 + (2x)^3 + y^2\]

Виразимо \(y\) з першого рівняння та підставимо в друге:

\[f(x) = x^3 + (2x)^3 + (24 - 3x)^2\]

Тепер, продовжуючи розв"язування, ми отримуємо:

\[f(x) = x^3 + 8x^3 + (576 - 144x + 9x^2)\]

Розкриємо дужки і зіберемо подібні члени:

\[f(x) = 9x^3 + 9x^2 - 144x + 576\]

Щоб знайти мінімальне значення функції, ми можемо взяти похідну за \(x\) та прирівняти її до нуля:

\[f"(x) = 27x^2 + 18x - 144 = 0\]

Далі виконуємо факторизацію:

\[3(3x^2 + 2x - 48) = 0\]

Розв"язавши квадратне рівняння, отримуємо два значення \(x\):

\[x_1 = 3, \quad x_2 = -6\]

Оскільки умовою задачі вказано, що числа повинні бути додатніми, ми відкидаємо від"ємне значення.

Отже, значення першого числа (\(x\)) дорівнює 3, другого числа (\(2x\)) - 6, а третього числа (\(y\)) - \(24 - 3x = 24 - 3 \cdot 3 = 15\).

Таким чином, число 24 можна представити як суму трьох додатніх чисел: 3, 6 і 15, з умовою, що співвідношення першого числа до другого буде 1:2, а сума кубів першого і другого чисел, а також квадрату третього числа, має найменше значення.