Как найти групповую скорость для разных законов дисперсии, если фазовая скорость: а) υ1 = a; б) υ2 = bλ; в) υ3

Групповая скорость \(V_g\) связана с фазовой скоростью \(V_p\) и дисперсионным законом волнового движения. Для разных законов дисперсии у нас есть следующие формулы:

а) Закон дисперсии: \(V_p = a\)

Для этого закона дисперсии, групповая скорость остаётся постоянной и равной фазовой скорости. То есть \(V_g = V_p = a\).

б) Закон дисперсии: \(V_p = b\lambda\)

Для этого закона дисперсии, можно найти групповую скорость, используя производную фазовой скорости по круговой частоте \(\omega\). Фазовая скорость \(V_p\) выражается через угловую частоту следующим образом: \(V_p = \frac{\omega}{k}\), где \(k\) - волновое число.

\[V_g = \frac{dV_p}{d\omega} = \frac{d}{d\omega}\left(\frac{\omega}{k}\right) = \frac{1}{k} = \frac{1}{2\pi/\lambda} = \frac{\lambda}{2\pi}\]

где \(\lambda\) - длина волны.

Таким образом, групповая скорость для данного закона дисперсии равна \(\frac{\lambda}{2\pi}\).

в) Закон дисперсии: \(V_p = ck^2\)

Для этого закона дисперсии, аналогично предыдущему случаю, можно найти групповую скорость, используя производную фазовой скорости по круговой частоте \(\omega\).

\[V_g = \frac{dV_p}{d\omega} = \frac{d}{d\omega}(ck^2) = 2ck\]

где \(k\) - волновое число.

Таким образом, групповая скорость для данного закона дисперсии равна \(2ck\).

Это полное решение задачи с обоснованием каждого шага. Если остались вопросы, пожалуйста, задавайте!