Как можно закрасить три квадратика на клетчатой бумаге, чтобы образовался многоугольник с периметром

Чтобы образовать многоугольник с минимальным периметром при закрашивании трёх квадратиков на клетчатой бумаге, нужно учесть несколько факторов.

Первоначально, необходимо рассмотреть самый простой случай - когда квадратики имеют некоторую общую сторону. Представьте, что у нас есть три квадратика, каждый из которых имеет сторону длиной 1 клетку и общую горизонтальную сторону. Их можно закрасить следующим образом:

\[Пример 1: \]

\[
\begin{array}{cccc}
& \square & \square & \square \\
\end{array}
\]

В этом случае многоугольник, образованный закрашенными квадратиками, представляет собой прямоугольник. В нашем примере периметр этого прямоугольника будет равен 6 клеткам (2 удлинённые стороны длиной 2 клетки и 2 короткие стороны длиной 1 клетку).

Однако, если квадратики не имеют общих сторон, возникает более сложная ситуация. Рассмотрим второй пример:

\[Пример 2: \]

\[
\begin{array}{cccc}
& \square & & \\
& \square & \square & \\
& & \square & \\
\end{array}
\]

В данном случае мы имеем многоугольник, состоящий из трёх квадратиков, у которых нет общих сторон. Закрасив эти клетки, мы получим треугольник. Однако, он не является наименьшим по периметру многоугольником, который можно получить при закрашивании трёх квадратиков.

\[Вопрос! \] Какую форму должны иметь квадратики, чтобы периметр многоугольника был минимальным?

Ответ на этот вопрос связан с использованием свойства о минимальности периметра: чтобы получить минимальный периметр, квадратики должны иметь общие углы. Давайте рассмотрим третий пример:

\[Пример 3: \]

\[
\begin{array}{cccc}
& \square & \square & \\
& \square & & \square \\
& & & \square \\
\end{array}
\]

В этом случае клетки имеют общий угол. Закрашивая эти клетки, мы получаем правильный треугольник. Такой треугольник будет иметь наименьший периметр из всех возможных многоугольников, которые можно получить при закрашивании трёх квадратиков.

Для данной задачи существует также теорема, называемая Теоремой нижнего оценочного предела, которая гласит, что наименьший периметр возникает, когда три квадрата образуют равносторонний треугольник. В этом случае периметр равен 3 единицам длины.

Таким образом, чтобы образовать многоугольник с минимальным периметром при закрашивании трёх клеток на клетчатой бумаге, эти три клетки должны быть расположены в виде правильного треугольника.