Как можно упростить выражение (котангенс6b - косинус2b - котангенс2b) / (синус2b - тангенс2b)?

Чтобы упростить данное выражение, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами и правилами арифметики. Давайте рассмотрим каждую часть по очереди.

1. Раскроем скобки:
\[
\begin{aligned}
\frac{{\cot(6b) - \cos(2b) - \cot(2b)}}{{\sin(2b) - \tan(2b)}}
\end{aligned}
\]

2. Применим тождество \(\cot(a) = \frac{{\cos(a)}}{{\sin(a)}}\) для замены котангенсов:
\[
\begin{aligned}
\frac{{\frac{{\cos(6b)}}{{\sin(6b)}} - \cos(2b) - \frac{{\cos(2b)}}{{\sin(2b)}}}}{{\sin(2b) - \tan(2b)}}.
\end{aligned}
\]

3. Обратимся к тождеству \(\tan(a) = \frac{{\sin(a)}}{{\cos(a)}}\) и заменим тангенсы:
\[
\begin{aligned}
\frac{{\frac{{\cos(6b)}}{{\sin(6b)}} - \cos(2b) - \frac{{\cos(2b)}}{{\sin(2b)}}}}{{\sin(2b) - \frac{{\sin(2b)}}{{\cos(2b)}}}}.
\end{aligned}
\]

4. Для удобства избавимся от дробей, умножив числитель и знаменатель на \(\sin(6b) \cdot \cos(6b) \cdot \cos(2b) \cdot \sin(2b)\):
\[
\begin{aligned}
\frac{{\cos(6b) \cdot \cos(2b) \cdot \sin(2b) - \cos(2b) \cdot \sin(6b) \cdot \cos(6b) - \cos(6b) \cdot \cos(2b) \cdot \sin(2b)}}{{\sin(2b) \cdot \cos(2b) - \sin(2b) \cdot \sin(2b) \cdot \cos(2b)}}.
\end{aligned}
\]

5. Сократим подобные слагаемые в числителе:
\[
\begin{aligned}
\frac{{- \cos(2b) \cdot (\sin(6b) \cdot \cos(6b) + \sin(2b))}}{{\sin(2b) \cdot (\cos^2(2b) - \sin^2(2b))}}.
\end{aligned}
\]

6. Рассмотрим тождество \(\cos^2(a) - \sin^2(a) = \cos(2a)\) для замены в знаменателе:
\[
\begin{aligned}
\frac{{- \cos(2b) \cdot (\sin(6b) \cdot \cos(6b) + \sin(2b))}}{{\sin(2b) \cdot \cos(2b)}}.
\end{aligned}
\]

7. Перепишем числитель в виде разности двух произведений:
\[
\begin{aligned}
\frac{{- \cos(2b) \cdot (\sin(6b) \cdot \cos(6b)) - \cos(2b) \cdot \sin(2b)}}{{\sin(2b) \cdot \cos(2b)}}.
\end{aligned}
\]

8. Разделим числитель и знаменатель на \(\cos(2b)\):
\[
\begin{aligned}
- \frac{{\sin(6b) \cdot \cos(6b)}}{{\sin(2b)}} - \frac{{\sin(2b)}}{{\sin(2b) \cdot \cos(2b)}}.
\end{aligned}
\]

9. Упростим выражение:
\[
\begin{aligned}
- \frac{{\sin(6b) \cdot \cos(6b)}}{{\sin(2b)}} - \frac{1}{{\cos(2b)}}.
\end{aligned}
\]

Таким образом, упрощенное выражение равно \(- \frac{{\sin(6b) \cdot \cos(6b)}}{{\sin(2b)}} - \frac{1}{{\cos(2b)}}\).