Как можно упростить уравнение X + 5√X - 8 = 0, используя замену t

Хорошо, давайте разберем, как упростить уравнение \(X + 5\sqrt{X} - 8 = 0\) с помощью замены переменной \(t\).

Для начала давайте введем новую переменную \(t = \sqrt{X}\), это позволит нам с легкостью упростить уравнение.

Заменим переменную \(X\) на \(t^2\) в исходном уравнении:

\[t^2 + 5t - 8 = 0\]

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно переменной \(t\). Чтобы решить его, давайте воспользуемся формулой дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a = 1\), \(b = 5\) и \(c = -8\).

Вычислим значение дискриминанта \(D\):

\[D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 25 + 32 = 57\]

Так как дискриминант \(D\) положителен, у нас есть два корня для уравнения \(t^2 + 5t - 8 = 0\).

Применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Заменяем значения \(a = 1\), \(b = 5\) и \(D = 57\):

\[t = \frac{-5 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 1}\]

\[t = \frac{-5 \pm \sqrt{57}}{2}\]

Таким образом, мы получили два значения переменной \(t\):

\[t_1 = \frac{-5 + \sqrt{57}}{2}\]

\[t_2 = \frac{-5 - \sqrt{57}}{2}\]

Теперь, когда у нас есть значения для переменной \(t\), мы можем восстановить значение переменной \(X\) с помощью замены:

\[X = (t^2)^2\]

Подставим значения переменной \(t\) в это выражение:

\[X_1 = \left(\frac{-5 + \sqrt{57}}{2}\right)^2\]

\[X_2 = \left(\frac{-5 - \sqrt{57}}{2}\right)^2\]

Вот ответ: уравнение \(X + 5\sqrt{X} - 8 = 0\) эквивалентно уравнению \(X_1 = \left(\frac{-5 + \sqrt{57}}{2}\right)^2\) и \(X_2 = \left(\frac{-5 - \sqrt{57}}{2}\right)^2\).

Не забывайте, что при решении квадратного уравнения всегда нужно проверять полученные значения \(X\), чтобы убедиться, что они удовлетворяют исходному уравнению.