Как можно сократить дробь (x+8) / (x^2+23x+120)?

Для того чтобы сократить данную дробь \(\frac{{x+8}}{{x^2+23x+120}}\), необходимо разложить знаменатель на множители и попытаться их сократить с числителем.

1. Сначала проанализируем знаменатель \(x^2+23x+120\) и попытаемся разложить его на множители.
Обратите внимание, что нужно разложить эту квадратичную функцию на два множителя вида:
\(x^2+23x+120=(x+a)(x+b)\), где \(a\) и \(b\) — числа.

2. Для того чтобы разложить на множители, нужно найти два числа \(a\) и \(b\), таких что их сумма равняется 23, а их произведение равняется 120.

3. Проведём несколько простых выкладок: разложим число 120 на простые множители, получим \(120=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5\) и рассмотрим все возможные комбинации этих множителей:
- \(2+2=4\), \(2 \cdot 2=4\)
- \(2+2+2=6\), \(2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\)

4. Теперь найдем сочетание суммы и произведения, равное 23. Попробуем найти подходящие значения \(a\) и \(b\):
- При \(a=4\) и \(b=30\) сумма равна 34, а не 23.
- При \(a=8\) и \(b=15\) сумма равна 23, а их произведение равно 120. Получаем нужные значения.

Таким образом, мы нашли разложение знаменателя на множители: \(x^2+23x+120 = (x+8)(x+15)\).

5. Подставим это разложение в нашу исходную дробь \(\frac{{x+8}}{{x^2+23x+120}}\). Получим:
\[\frac{{x+8}}{{(x+8)(x+15)}}.\]

6. Заметим, что \(x+8\) в числителе и знаменателе дроби сокращаются. Таким образом, ответ на задачу: исходная дробь \(\frac{{x+8}}{{x^2+23x+120}}\) может быть сокращена до \(\frac{1}{{x+15}}\).

Надеюсь, что объяснение было понятным и обстоятельным. Если остались еще вопросы или нужно разъяснить что-то еще, пожалуйста, сообщите.