Как можно сформулировать математическую модель и решить задачу при помощи симплексного метода? В производстве двух

Для начала, давайте сформулируем математическую модель данной задачи.

Пусть:
\(x_1\) - количество произведенных изделий типа А
\(x_2\) - количество произведенных изделий типа В

Теперь опишем ограничения задачи:
1) Ограничение на время производства изделий А в каждом цеху:
\(5x_1 + 7x_2 \leq 343\) - для 1-го цеха
\(9x_1 + 9x_2 \leq 587\) - для 2-го цеха
\(10x_1 + 8x_2 \leq 587\) - для 3-го цеха

2) Ограничение на количество произведенных изделий А и В:
\(x_1 \geq 0\) - неотрицательность количества изделий А
\(x_2 \geq 0\) - неотрицательность количества изделий В

Сформулировав ограничения, мы можем перейти к целевой функции. В данной задаче нам нужно максимизировать доход компании. Поскольку компания получает доход 11 рублей за каждое изделие А, а за каждое изделие В - давайте посчитаем общий доход компании от производства и продажи:

\(11x_1 + \text{число2}*x_2\)

Теперь, обобщив все условия, мы можем сформулировать задачу в виде линейного программирования:

Максимизировать: \(11x_1 + \text{число2}*x_2\)

При ограничениях:
\(5x_1 + 7x_2 \leq 343\)
\(9x_1 + 9x_2 \leq 587\)
\(10x_1 + 8x_2 \leq 587\)
\(x_1 \geq 0\)
\(x_2 \geq 0\)

Теперь перейдем к решению задачи при помощи симплексного метода.

1) Добавим фиктивные переменные \(s_1\), \(s_2\), \(s_3\), \(s_4\), \(s_5\) для каждого ограничения (заменим неравенства на равенства), получим следующую систему уравнений:

\[
\begin{align*}
5x_1 + 7x_2 + s_1 &= 343 \\
9x_1 + 9x_2 + s_2 &= 587 \\
10x_1 + 8x_2 + s_3 &= 587 \\
-x_1 + s_4 &= 0 \\
-x_2 + s_5 &= 0 \\
\end{align*}
\]

2) Теперь составим таблицу, где строки представляют ограничения, столбцы - переменные, и добавим последнюю строку, содержащую коэффициенты целевой функции:

\[
\begin{array}{ccccccc|c}
&x_1&x_2&s_1&s_2&s_3&s_4&s_5&\text{Значение}\\
\hline
&s_1&5&7&1&0&0&0&343\\
&s_2&9&9&0&1&0&0&587\\
&s_3&10&8&0&0&1&0&587\\
&-s_4&-1&0&0&0&1&0&0\\
&-s_5&0&0&0&0&0&1&0\\
\hline
&\text{ц.ф.}&11&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\text{ц.ф.}
\end{array}
\]

3) Видно, что начальное базисное решение может быть достигнуто, положив \(x_1 = 0\), \(x_2 = 0\), \(s_1 = 343\), \(s_2 = 587\), \(s_3 = 587\). Однако, теперь нужно проверить, является ли текущее решение допустимым.

4) При подстановке базисных переменных в систему ограничений, мы получаем следующие значения остальных переменных:

\(x_1 = 0\), \(x_2 = 0\), \(s_1 = 343\), \(s_2 = 587\), \(s_3 = 587\), \(s_4 = 0\), \(s_5 = 0\)

5) Проверка допустимости:
\[
\begin{align*}
5x_1 + 7x_2 + s_1 &= 5(0) + 7(0) + 343 = 343 \quad \text{Верно} \\
9x_1 + 9x_2 + s_2 &= 9(0) + 9(0) + 587 = 587 \quad \text{Верно} \\
10x_1 + 8x_2 + s_3 &= 10(0) + 8(0) + 587 = 587 \quad \text{Верно} \\
-x_1 + s_4 &= -(0) + 0 = 0 \quad \text{Верно} \\
-x_2 + s_5 &= -(0) + 0 = 0 \quad \text{Верно}
\end{align*}
\]
Все условия выполнены, поэтому текущее базисное решение является допустимым.
6) Теперь вычтем столбец с наибольшим отрицательным значением в последней строке из остальных строк, чтобы получить положительные коэффициенты в разрешающем столбце.
\[
\begin{array}{ccccccc|c}
&x_1&x_2&s_1&s_2&s_3&s_4&s_5&\text{Значение}\\
\hline
&s_1&5&7&1&0&0&0&343\\
&s_2&9&9&0&1&0&0&587\\
&s_3&10&8&0&0&1&0&587\\
&-s_4&-1&0&0&0&1&0&0\\
&-s_5&0&0&0&0&0&1&0\\
\hline
&\text{ц.ф.}&11&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\text{ц.ф.}
\end{array}
\]
Выберем столбец \(x_1\) в качестве разрешающего столбца (так как он имеет наибольшую отрицательную целевую функцию). Разделим каждый элемент этого столбца на соответствующий элемент строки \(s_1\) (поскольку он является разделяющим элементом):
\[
\begin{array}{ccccccc|c}
&x_1&x_2&s_1&s_2&s_3&s_4&s_5&\text{Значение}\\
\hline
&s_1&\frac{5}{7}&1&\frac{1}{7}&0&0&0&49\\
&s_2&\frac{18}{7}&0&-\frac{9}{7}&1&0&0&544\\
&s_3&\frac{10}{7}&0&-\frac{8}{7}&0&1&0&527\\
&-s_4&-\frac{1}{7}&0&\frac{1}{7}&0&1&0&7\\
&-s_5&0&0&0&0&0&1&0\\
\hline
&\text{ц.ф.}&11&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\text{ц.ф.}
\end{array}
\]
8) Выберем строку с наименьшим значением в столбце переменной \(x_1\) (так как она является разрешающей, она будет вступать в базис), исключим \(x_1\) из предыдущей таблицы:
\[
\begin{array}{ccccccc|c}
&s_1&\frac{5}{7}&1&\frac{1}{7}&0&0&0&49\\
&x_1&\frac{18}{7}&0&-\frac{9}{7}&1&0&0&544\\
&s_3&\frac{10}{7}&0&-\frac{8}{7}&0&1&0&527\\
&-s_4&-\frac{1}{7}&0&\frac{1}{7}&0&1&0&7\\
&-s_5&0&0&0&0&0&1&0\\
\hline
&\text{ц.ф.}&11&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\text{ц.ф.}
\end{array}
\]
9) Продолжим процесс, вычтем столбец с наибольшим отрицательным значением в последней строке (исключая значение в разрешающей строке) из остальных строк:
\[
\begin{array}{ccccccc|c}
&s_1&0&14&1&\frac{5}{7}&0&0&217\\
&x_1&\frac{18}{7}&0&-\frac{9}{7}&1&0&0&544\\
&s_3&\frac{10}{7}&0&-\frac{8}{7}&0&1&0&527\\
&-s_4&\frac{2}{7}&0&\frac{2}{7}&0&1&0&31\\
&-s_5&0&0&0&0&0&1&0\\
\hline
&\text{ц.ф.}&11&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\text{ц.ф.}
\end{array}
\]
10) Продолжим, выберем строку с наименьшим значением в столбце переменной \(s_1\) и исключим \(s_1\) из предыдущей таблицы:
\[
\begin{array}{ccccccc|c}
&x_5&0&14&1&\frac{5}{7}&0&0&217\\
&x_1&\frac{18}{7}&0&-\frac{9}{7}&1&0&0&544\\
&s_3&\frac{10}{7}&0&-\frac{8}{7}&0&1&0&527\\
&-s_4&\frac{2}{7}&0&\frac{2}{7}&0&1&0&31\\
&s_1&0&0&0&\frac{5}{7}&0&1&0\\
\hline
&\text{ц.ф.}&11&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\text{ц.ф.}
\end{array}
\]
11) Продолжим, вычтем столбец с наибольшим отрицательным значением в последней строке из остальных строк:
\[
\begin{array}{ccccccc|c}
&x_5&0&14&1&0&\frac{5}{7}&0&172\\
&x_1&\frac{18}{7}&0&-\frac{9}{7}&0&\frac{1}{7}&0&489\\
&s_3&\frac{10}{7}&0&-\frac{8}{7}&0&\frac{5}{7}&0&480\\
&-s_4&\frac{2}{7}&0&\frac{2}{7}&0&\frac{5}{7}&0&26\\
&s_1&0&0&0&1&\frac{5}{7}&0&35\\
\hline
&\text{ц.ф.}&11&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\text{ц.ф.}
\end{array}
\]
12) Видно, что нет отрицательных значений в последней строке, значит, найдено оптимальное решение.

Таким образом, оптимальное решение состоит из:
\(x_1 = \frac{18}{7}\) - количество произведенных изделий типа А
\(x_2 = 0\) - количество произведенных изделий типа В
\(s_1 = 0\) - количество доступных часов в первом цехе
\(s_2 = 0\) - количество доступных часов во втором цехе
\(s_3 = \frac{1}{7}\) - количество доступных часов в третьем цехе

Доход компании в данном случае составит \(489\) рублей.

Надеюсь, данное пошаговое решение поможет вам лучше понять, как сформулировать математическую модель и решить данную задачу при помощи симплексного метода.