Как можно решить следующую систему квадратных неравенств? 1) x² + x - 30 ≤ 0; 2) x² - x - 20

Давайте решим данную систему квадратных неравенств пошагово:

1) Рассмотрим первое квадратное неравенство: \(x^2 + x - 30 \leq 0\).

Для начала, найдем корни данного квадратного уравнения. Мы можем сделать это, найдя значения, при которых выражение \(x^2 + x - 30\) равно нулю.

Мы можем разложить уравнение на множители: \((x + 6)(x - 5) \leq 0\).

Теперь мы знаем, что уравнение равно нулю при \(x = -6\) и \(x = 5\). Это означает, что данный график функции пересекает ось x в точках -6 и 5.

Теперь нам нужно определить знак выражения \((x + 6)(x - 5)\) для различных значений x, чтобы определить, где оно положительно или отрицательно.

Разделим числовую прямую на три интервала: \((- \infty, -6)\), \((-6, 5)\) и \((5, +\infty)\).

Давайте возьмем по одной точке из каждого интервала и проверим, является ли выражение положительным или отрицательным. Например, возьмем x = -7, x = 0 и x = 6.

Подставив x = -7, мы получим \((-7 + 6)(-7 - 5) = -1 \cdot -12 = 12\), что положительно.

Подставим x = 0, получим \((0 + 6)(0 - 5) = 6 \cdot -5 = -30\), что отрицательно.

Подставим x = 6, получим \((6 + 6)(6 - 5) = 12 \cdot 1 = 12\), что снова положительно.

Теперь у нас есть следующая информация: интервал \((- \infty, -6)\) положителен, интервал \((-6, 5)\) отрицателен, интервал \((5, +\infty)\) положителен.

Теперь мы можем составить ответ:

Решение первого квадратного неравенства \(x^2 + x - 30 \leq 0\) есть \([-6, 5]\).

2) Рассмотрим второе квадратное неравенство: \(x^2 - x - 20 \leq 0\).

Также, найдем значения x, при которых выражение \(x^2 - x - 20\) равно нулю.

Мы можем разложить уравнение на множители: \((x + 4)(x - 5) \leq 0\).

Мы знаем, что уравнение равно нулю при \(x = -4\) и \(x = 5\). Опять же, это означает, что график функции пересекает ось x в точках -4 и 5.

Разделим числовую прямую на три интервала: \((- \infty, -4)\), \((-4, 5)\) и \((5, +\infty)\).

Аналогично, возьмем по точке из каждого интервала и проверим знак выражения \((x + 4)(x - 5)\). Например, возьмем x = -5, x = 0 и x = 6.

Подставив x = -5, мы получим \((-5 + 4)(-5 - 5) = -1 \cdot -10 = 10\), что положительно.

Подставим x = 0, получим \((0 + 4)(0 - 5) = 4 \cdot -5 = -20\), что отрицательно.

Подставим x = 6, получим \((6 + 4)(6 - 5) = 10 \cdot 1 = 10\), что положительно.

Теперь у нас есть следующая информация: интервал \((- \infty, -4)\) положителен, интервал \((-4, 5)\) отрицателен, интервал \((5, +\infty)\) положителен.

Таким образом, решение второго квадратного неравенства \(x^2 - x - 20 \leq 0\) есть \([-4, 5]\).

В итоге, общее решение системы квадратных неравенств будет: \([-4, 5]\).