Как можно представить выражение cos2a + cos8a в виде произведения?

Для начала, давайте вспомним одну из тригонометрических формул - формулу сложения косинусов. Она гласит:

\[\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B\]

Мы можем применить эту формулу для представления выражения \(\cos 2a + \cos 8a\) в виде произведения. Заметим, что у нас нет сложения или вычитания внутри функций \(\cos\). Но у нас есть формула сложения косинусов, и мы можем использовать ее, чтобы найти подходящие углы \(A\) и \(B\).

Теперь, давайте разложим \(\cos 8a\) на две суммы:

\[\cos 8a = \cos (2a + 6a)\]

Мы можем заметить, что \(2a\) и \(6a\) - это сумма, и мы можем использовать формулу сложения косинусов для этого. Применяем формулу, получаем:

\[\cos 8a = \cos (2a) \cos (6a) - \sin (2a) \sin (6a)\]

Теперь у нас есть выражение \(\cos 2a + \cos (2a) \cos (6a) - \sin (2a) \sin (6a)\). Мы можем объединить первое и второе слагаемое, так как они имеют общий множитель \(\cos (2a)\). То же самое можно сделать для третьего и четвертого слагаемого, так как они содержат общий множитель \(\sin (2a)\):

\[\cos 2a + \cos (2a) \cos (6a) - \sin (2a) \sin (6a) = \cos 2a + (\cos 2a \cos 6a) - (\sin 2a \sin 6a)\]

Теперь, давайте воспользуемся еще одной формулой:

\[\cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos (A + B) + \cos (A - B)]\]

Эта формула поможет нам преобразовать \(\cos 2a \cos 6a\) в произведение. Применяем формулу:

\(\cos 2a \cos 6a = \frac{1}{2} [\cos (2a + 6a) + \cos (2a - 6a)]\)

\(\cos 2a \cos 6a = \frac{1}{2} [\cos 8a + \cos (-4a)]\)

Теперь у нас получилось выражение \(\cos 2a + \frac{1}{2} [\cos 8a + \cos (-4a)] - \sin 2a \sin 6a\). Мы можем применить еще одну формулу:

\(\cos (-x) = \cos x\)

Теперь заменяем \(\cos (-4a)\) на \(\cos 4a\):

\(\cos 2a + \frac{1}{2} [\cos 8a + \cos 4a] - \sin 2a \sin 6a\)

Наше исходное выражение \(\cos 2a + \cos 8a\) теперь равно:

\[\cos 2a + \frac{1}{2} [\cos 8a + \cos 4a] - \sin 2a \sin 6a\]

Вот ответ, представленный в виде произведения.