Как можно показать, что отрезок, соединяющий точки, отмеченные на катетах прямоугольного треугольника, не превышает

Чтобы показать, что отрезок, соединяющий точки, отмеченные на катетах прямоугольного треугольника, не превышает длину гипотенузы, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора. Давайте рассмотрим этот вопрос подробнее.

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где AB и AC - катеты, а BC - гипотенуза. Отметим на каждом из катетов точку: D на AB и E на AC. Наша цель - доказать, что отрезок DE не превышает длину гипотенузы BC.

1. Вспомним теорему Пифагора, которая гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов: \(BC^2 = AB^2 + AC^2\).

2. Посмотрим на треугольник BDC. Он является прямоугольным по построению.

3. Теперь вспомним, что квадрат любого отрезка всегда положителен или равен нулю. Таким образом, мы можем записать: \(BD^2 \geq 0\) и \(DC^2 \geq 0\).

4. Применим теперь теорему Пифагора для треугольника BDC, получим: \(BC^2 = BD^2 + DC^2\).

5. Отметим, что BD и DC - это отрезки, которые составляют отрезок DE. Таким образом, мы можем переписать предыдущее выражение: \(BC^2 = DE^2 + DC^2\).

6. Заметим, что квадрат любого числа всегда больше или равен нулю: \(DE^2 \geq 0\).

7. Теперь добавим DE^2 к обеим сторонам равенства: \(BC^2 + DE^2 = DE^2 + DC^2 + DE^2\).

8. Очевидно, что \(BC^2 + DE^2 = BD^2 + DC^2 + DE^2\) и \(BD^2 + DC^2 + DE^2 = DE^2 + DC^2 + DE^2\).

9. Так как равенства сохраняются, мы можем записать: \(BC^2 \geq DE^2 + DC^2 + DE^2\).

10. Если мы уберем лишние слагаемые, получим: \(BC^2 \geq 2 \cdot DE^2 + DC^2\).

11. Поскольку каждое слагаемое на правой стороне (2 * DE^2 и DC^2) положительное, то \(2 \cdot DE^2 + DC^2\) также положительная величина.

12. Таким образом, получаем, что \(BC^2 \geq 2 \cdot DE^2 + DC^2 > DE^2\).

13. Возводя обе части неравенства в квадрат, мы замечаем, что \(BC^2 > DE^2\).

14. Из этого следует, что BC > DE.

Таким образом, мы доказали, что отрезок DE, соединяющий точки, отмеченные на катетах прямоугольного треугольника, не превышает длину гипотенузы.