Как можно найти общее решение данного дифференциального уравнения y ×tgx-y=a?

Данное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным уравнением второго порядка. Чтобы найти его общее решение, мы можем применить метод вариации произвольных констант.

Шаг 1: Найдите общее решение однородного уравнения.
Для начала, рассмотрим однородное уравнение y"×tgx-y=0. Ищем его общее решение, предполагая, что y имеет вид y = e^(rx), где r - неизвестная константа.

Подставим этот вид решения в уравнение:
y"×tgx-y=0
(r^2×e^(rx))×tgx - e^(rx) = 0

Обратим внимание, что tgx = sinx/cosx. Заменим tgx в уравнении:
(r^2×e^(rx))×(sinx/cosx) - e^(rx) = 0
r^2×e^(rx)×sinx - e^(rx)×cosx = 0

Теперь вынесем общий множитель e^(rx) и получим уравнение:
e^(rx) × (r^2×sinx - cosx) = 0

Чтобы решить это уравнение, мы должны приравнять каждый множитель к нулю:
e^(rx) = 0 или r^2×sinx - cosx = 0

Первое уравнение e^(rx) = 0 не имеет решений, так как экспоненциальная функция никогда не обращается в ноль.

Решим второе уравнение r^2×sinx - cosx = 0:
cosx = r^2×sinx

Разделим обе части уравнения на sinx:
cotx = r^2

Таким образом, мы получили, что r^2 равно cotx, или r = ±sqrt(cotx).

Теперь у нас есть два решения однородного уравнения: y1 = e^(sqrt(cotx)×x) и y2 = e^(-sqrt(cotx)×x).

Шаг 2: Найдите частное решение неоднородного уравнения.
Находим частное решение неоднородного уравнения y"×tgx-y=a. Предположим, что частное решение имеет вид y = u(x), где u(x) - функция, которую нужно определить.

Подставим предположение о частном решении в уравнение и найдем значение u(x):
u""×tgx - u × tgx = a

Теперь берем производную u"" и подставляем в уравнение:
(u""×cos^2x - 2u"×sinxcosx - u×sin^2x)×tgx - u×tgx = a

Приводим подобные и переносим все слагаемые на одну сторону уравнения:
(u""×cos^2x - (2u"×sinxcosx + u×sin^2x + u))×tgx = a

Таким образом, мы получаем уравнение для определения u(x): u""×cos^2x - (2u"×sinxcosx + u×sin^2x + u) = a×secx.

Шаг 3: Найдите частное решение уравнения u""×cos^2x - (2u"×sinxcosx + u×sin^2x + u) = a×secx.
Для нахождения частного решения, мы можем использовать метод вариации произвольных постоянных.
Предположим, что частное решение имеет вид u(x) = C, где C - неизвестная константа.

Подставляем это предположение в уравнение и находим C:
0 - (2×0×sinxcosx + 0×sin^2x + C) = a×secx
-2C = a × secx
C = -\frac{a}{2} × secx

Таким образом, мы нашли частное решение уравнения: u(x) = -\frac{a}{2} × secx.

Шаг 4: Найдите общее решение неоднородного уравнения.
Теперь, имея общее решение однородного уравнения (y1 = e^(sqrt(cotx)×x) и y2 = e^(-sqrt(cotx)×x)) и частное решение неоднородного уравнения (u(x) = -\frac{a}{2} × secx), мы можем записать общее решение неоднородного уравнения.

Общее решение будет иметь вид:
y = C1 × e^(sqrt(cotx)×x) + C2 × e^(-sqrt(cotx)×x) -\frac{a}{2} × secx,

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Это и является общим решением данного дифференциального уравнения y"×tgx-y=a.