Как можно избавиться от иррациональности в знаменателе дроби в выражении 21/5+√18? Подробности, пожалуйста

Хорошо, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби, мы можем воспользоваться тем, что квадратные корни и дроби обладают свойством сопряженности. Позвольте мне объяснить подробнее.

Исходное выражение у нас: \(\frac{21}{5} + \sqrt{18}\)

Для начала нам нужно привести корень 18 к рациональному виду. Заведем вспомогательную дробь, чтобы избавиться от корня:

\(\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2}\)

Мы знаем, что \(\sqrt{9} = 3\), поэтому можно вынести 3 из под корня:

\(\sqrt{18} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot \sqrt{2}\)

Теперь наше выражение выглядит следующим образом: \(\frac{21}{5} + 3 \cdot \sqrt{2}\)

Мы можем взять наибольший общий делитель числителя и знаменателя дроби \(\frac{21}{5}\), который равен 1. Затем умножим числитель и знаменатель на 5, чтобы избавиться от дроби:

\(\frac{21 \cdot 5}{5} + 3 \cdot \sqrt{2}\)

Раскроем скобки в числителе:

\(\frac{105}{5} + 3 \cdot \sqrt{2}\)

Теперь мы можем сложить числитель и знаменатель:

\(\frac{105 + 5 \cdot 3 \cdot \sqrt{2}}{5}\)

Для получения окончательного результата нам потребуется рационализировать знаменатель, убрав корень. Для этого умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\):

\(\frac{(105 + 5 \cdot 3 \cdot \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}}{5 \cdot \sqrt{2}}\)

Раскроем скобки в числителе:

\(\frac{105 \cdot \sqrt{2} + 5 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{5 \cdot \sqrt{2}}\)

Упростим выражение:

\(\frac{105 \cdot \sqrt{2} + 5 \cdot 3 \cdot 2}{5 \cdot \sqrt{2}}\)

\(\frac{105 \cdot \sqrt{2} + 30}{5 \cdot \sqrt{2}}\)

Разделим числитель и знаменатель на 5:

\(\frac{21 \cdot \sqrt{2} + 6}{\sqrt{2}}\)

Итак, мы избавились от иррациональности в знаменателе и получили окончательное выражение: \(21 \cdot \sqrt{2} + 6\).

Надеюсь, объяснение было понятно и помогло вам разобраться в решении задачи. Если у вас возникли дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.