Как можно доказать, что треугольники равны по двум сторонам и медиане между ними?

Хорошо! Чтобы доказать, что два треугольника равны по двум сторонам и медиане между ними, мы можем использовать следующую информацию:

Дано: у нас есть два треугольника $\mathrm{△}ABC$ и $\mathrm{△}DEF$, где стороны AB и AC первого треугольника равны сторонам DE и DF второго треугольника. Мы также знаем, что медиана AM первого треугольника, проведенная из вершины A, равна медиане DN второго треугольника, проведенной из вершины D.

Мы должны доказать, что треугольники $\mathrm{△}ABC$ и $\mathrm{△}DEF$ равны друг другу.

Шаг 1: Сначала докажем, что углы при вершине A и D равны. По условию мы имеем стороны AB = DE и AC = DF, а также медиану AM = DN. Заметим, что медиана делит каждую из сторон пополам, поэтому AM = MC и DN = NE.

Шаг 2: Теперь давайте посмотрим на треугольники $\mathrm{△}AMC$ и $\mathrm{△}DNE$. У них равные стороны AM = DN, AC = DF (по условию) и MC = NE (потому что это половины сторон AB и DE). Поэтому по стороне-сторона-сторона (ССС) эти два треугольника равны.

Шаг 3: Затем давайте рассмотрим треугольники $\mathrm{△}ABC$ и $\mathrm{△}AMC$. У них равные стороны AB и AC (по условию) и равные углы при вершинах A (доказано в шаге 2). Теперь мы можем применить правило сторона-угол-сторона (СУС). Следовательно, эти два треугольника равны.

Шаг 4: Подобным образом, мы можем рассмотреть треугольники $\mathrm{△}DEF$ и $\mathrm{△}DNE$. Их равные стороны DE и DF (по условию) и равные углы при вершинах D (доказано в шаге 2) означают, что эти два треугольника равны по СУС.

Шаг 5: Из шагов 3 и 4 мы видим, что треугольники $\mathrm{△}ABC$ и $\mathrm{△}AMC$ равны, так же как треугольники $\mathrm{△}DEF$ и $\mathrm{△}DNE$. Но равенство по СУС также означает равенство по ССС. То есть, треугольники $\mathrm{△}ABC$ и $\mathrm{△}DEF$ равны по двум сторонам и медиане между ними.

Таким образом, мы доказали, что треугольники равны по двум сторонам и медиане между ними.