Как можно доказать, что соотношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия?

Для начала, давайте рассмотрим два подобных треугольника, назовем их $\mathrm{△}ABC$ и $\mathrm{△}DEF$. Первым шагом, вспомним, что два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны.

Итак, по условию задачи, треугольники $\mathrm{△}ABC$ и $\mathrm{△}DEF$ подобны. Теперь нам нужно доказать, что соотношение их периметров равно коэффициенту подобия. Для этого мы представим, что коэффициент подобия равен $k$, то есть $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=k$.

Шаг 1: Найдем отношение длин сторон треугольников:

$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=k$

Шаг 2: Обозначим длины сторон треугольников:

Пусть $AB=a$, $BC=b$, $AC=c$ для треугольника $\mathrm{△}ABC$, и $DE=x$, $EF=y$, $DF=z$ для треугольника $\mathrm{△}DEF$.

Шаг 3: Перепишем отношение длин сторон треугольников с использованием обозначений:

$\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}=k$

Шаг 4: Применим свойство подобных треугольников, которое заключается в том, что соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны:

$a:x=b:y=c:z$

Шаг 5: Используем определение периметра треугольника, который равен сумме длин его сторон:

Периметр треугольника $\mathrm{△}ABC$ равен $P_1=a+b+c$

Периметр треугольника $\mathrm{△}DEF$ равен $P_2=x+y+z$

Шаг 6: Заменяем стороны треугольников на их пропорциональные значения:

Периметр треугольника $\mathrm{△}ABC$ равен $P_1=kx+ky+kz$

Периметр треугольника $\mathrm{△}DEF$ равен $P_2=x+y+z$

Шаг 7: Теперь мы видим, что периметры треугольников пропорциональны, и коэффициент пропорциональности равен коэффициенту подобия треугольников $k$:

$\frac{P_1}{P_2}=\frac{kx+ky+kz}{x+y+z}=k$

Таким образом, по доказанному выше, мы можем с уверенностью сказать, что соотношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Надеюсь, эта подробная и обоснованная информация поможет вам лучше понять, как доказывается данное утверждение о периметрах подобных треугольников. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!