Как можно доказать, что плоскости abc и a1b1c1 параллельны? (задача

Чтобы доказать, что плоскости \(abc\) и \(a_1b_1c_1\) параллельны, мы должны убедиться, что векторы, описывающие данные плоскости, коллинеарны. Для этого нам понадобятся некоторые предпосылки и свойства плоскостей.

Допустим, что плоскость \(abc\) определена тремя неколлинеарными точками \(A\), \(B\) и \(C\). Аналогично, плоскость \(a_1b_1c_1\) определена тремя неколлинеарными точками \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\).

Теперь рассмотрим векторы, которые являются направляющими в каждой плоскости. Нам понадобятся векторы \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\), \(\vec{A_1B_1}\) и \(\vec{A_1C_1}\).

Используя эти векторы, мы можем сформировать систему уравнений для плоскостей \(abc\) и \(a_1b_1c_1\). Уравнения плоскости в пространстве обычно записываются в виде:

\[Ax + By + Cz = D\]

где \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) - коэффициенты, а \(x\), \(y\) и \(z\) - координаты точки на плоскости.

Теперь обратимся к плоскости \(abc\) и составим уравнение этой плоскости, используя точки \(A\), \(B\) и \(C\) и соответствующие векторы:

\[\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0\]

(Точка \(\cdot\) обозначает скалярное произведение векторов.)

Аналогично, для плоскости \(a_1b_1c_1\) составим уравнение:

\[\vec{A_1B_1} \cdot \vec{A_1C_1} = 0\]

Если эти два уравнения выполняются, то векторы \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\), \(\vec{A_1B_1}\) и \(\vec{A_1C_1}\) коллинеарны, что означает, что плоскости \(abc\) и \(a_1b_1c_1\) параллельны.

Итак, мы только что доказали, что плоскости \(abc\) и \(a_1b_1c_1\) параллельны, используя условие коллинеарности векторов, описывающих эти плоскости.