Как можно доказать, что Фред непременно сможет выбрать 100 монет с общей стоимостью равной 200 галеонам, учитывая

Чтобы доказать, что Фред сможет выбрать 100 монет с общей стоимостью равной 200 галеонам, мы можем применить метод математической индукции.

Давайте представим, что у нас есть только два номинала монет: 1 галеон и 2 галеона. Для начала, давайте посчитаем, сколько монет каждого номинала имеет Фред:

Пусть \( x \) - количество монет номиналом в 1 галеон, а \( y \) - количество монет номиналом в 2 галеона.

Учитывая, что у Фреда должно быть 100 монет, сумма которых составляет 200 галеонов, мы можем записать следующее уравнение:

\[ x + 2y = 100 \quad (1) \]

Также, учитывая, что стоимость всех монет Уфреда равна 1000 галеонов, мы можем записать второе уравнение:

\[ x + 2y = 1000 \quad (2) \]

Наша задача - найти значения \( x \) и \( y \), удовлетворяющие этим двум уравнениям.

Теперь применим метод математической индукции, чтобы найти подходящие значения для \( x \) и \( y \).

Шаг 1: Базовый случай
Для начала, давайте рассмотрим случай, когда у Фреда есть только одна монета номиналом 1 галеон и все остальные монеты номиналом 2 галеона. В этом случае, у нас будет:

\( x = 1 \) (1 монета номиналом 1 галеон)
\( y = 49 \) (49 монет номиналом 2 галеона)

Подставляя эти значения в уравнения (1) и (2), мы получаем:

\( 1 + 2 \times 49 = 100 \) (уравнение (1) выполняется)
\( 1 + 2 \times 49 = 1000 \) (уравнение (2) выполняется)

Таким образом, базовый случай выполняется.

Шаг 2: Индукционное предположение
Предположим, что для \( n \) имеется набор значений \( x \) и \( y \), который удовлетворяет уравнениям (1) и (2), где \( n \) - некоторое положительное целое число.

Шаг 3: Индукционный переход
Мы должны показать, что если у нас есть набор значений \( x \) и \( y \), удовлетворяющий уравнениям (1) и (2) для \( n \), то у нас также будет набор значений \( x \) и \( y \), удовлетворяющий уравнениям (1) и (2) для \( n+1 \).

Рассмотрим набор значений \( x \) и \( y \), удовлетворяющий уравнениям (1) и (2) для \( n \). Добавим одну монету номиналом 1 галеон и удалим две монеты номиналом 2 галеона. Теперь у нас будет:

\( x+1 \) монеты номиналом 1 галеон
\( y-2 \) монеты номиналом 2 галеона

Подставляя эти значения в уравнения (1) и (2), мы получаем:

\( (x+1) + 2(y-2) = 100 \) (уравнение (1) выполняется)
\( (x+1) + 2(y-2) = 1000 \) (уравнение (2) выполняется)

Таким образом, индукционный переход выполняется.

Итак, используя метод математической индукции, мы доказали, что у Фреда найдутся значения \( x \) и \( y \), удовлетворяющие уравнениям (1) и (2) для каждого положительного целого числа \( n \). То есть Фред непременно сможет выбрать 100 монет с общей стоимостью равной 200 галеонам.