Как меняется вектор скорости при движении тела в плоскости xoy? Он задается уравнением V=3ti-4tj. Найти: 1) Сколько

Для решения данной задачи нам необходимо знать, что вектор скорости - это производная вектора пути по времени. В данном случае у нас дано уравнение скорости \(\mathbf{V} = 3t\mathbf{i} - 4t\mathbf{j}\), где \(\mathbf{i}\) и \(\mathbf{j}\) - это единичные векторы направления на оси \(x\) и \(y\) соответственно.

Для нахождения перемещения за первые 4 секунды движения, нам нужно проинтегрировать уравнение скорости от начального момента времени до конечного момента времени. Интегрируем каждую компоненту вектора скорости по отдельности:

\[
\Delta\mathbf{r} = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{V} \, dt
\]
\[
\Delta\mathbf{r} = \int_{t_1}^{t_2} (3t\mathbf{i} - 4t\mathbf{j}) \, dt
\]

Для данной задачи нам дано начальное время \(t_1 = 0\) и конечное время \(t_2 = 4\). Проинтегрируем каждую компоненту:

\[
\Delta x = \int_{0}^{4} 3t \, dt = \frac{1}{2}(3t^2)|_0^4 = \frac{1}{2}(3 \cdot 4^2 - 3 \cdot 0^2) = 6 \, м
\]

\[
\Delta y = \int_{0}^{4} -4t \, dt = -2t^2|_0^4 = -2 \cdot 4^2 + 2 \cdot 0^2 = -32 \, м
\]

Таким образом, за первые 4 секунды движения тело переместилось на 6 метров в положительном направлении оси \(x\) и на 32 метра в отрицательном направлении оси \(y\).

Для нахождения ускорения, нам нужно взять производную вектора скорости по времени:

\[
\mathbf{a} = \frac{d\mathbf{V}}{dt} = \frac{d}{dt}(3t\mathbf{i} - 4t\mathbf{j})
\]
\[
\mathbf{a} = 3\mathbf{i} - 4\mathbf{j}
\]

Ускорение равно 3 в положительном направлении оси \(x\) и -4 в отрицательном направлении оси \(y\).

Чтобы найти уравнение движения тела, нам нужно знать вторую производную вектора пути по времени. Так как у нас дано уравнение для вектора скорости, мы можем сделать вывод, что это первая производная вектора пути. Используем это уравнение для того, чтобы найти вторую производную:

\[
\mathbf{a} = \frac{d\mathbf{V}}{dt} = \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}
\]

Так как вторая производная вектора пути - это ускорение, то мы уже нашли его в предыдущем пункте.