Как изменяются площади поверхностей тел вращения прямоугольной трапеции при вращении около меньшего и большего

При решении данной задачи нам понадобится использовать метод цилиндров, чтобы понять, как изменяются площади поверхностей тел вращения и объем тела вращения.

Представим, что у нас есть прямоугольная трапеция с основаниями \(a\) и \(b\), и высотой \(h\). Для удобства обозначим \(a\) как меньшее основание (меньшая сторона) и \(b\) как большее основание (большая сторона).

1. Рассмотрим первый случай, когда трапеция вращается вокруг меньшего основания. В результате вращения мы получим тело вращения, которым будет цилиндр с основанием равным окружности радиусом \(h\) (высота трапеции) и высотой равной \(b\) (большей стороне трапеции). Площадь поверхности этого тела вращения \(S_1\) можно вычислить по формуле \(S_1 = 2\pi rh\), где \(r\) - радиус основания цилиндра, который равен \(h\), а \(h\) - высота цилиндра, равная \(b\). Следовательно, формула принимает вид \(S_1 = 2\pi bh\).

2. Теперь рассмотрим второй случай, когда трапеция вращается вокруг большего основания. В результате вращения мы получим тело вращения, которым будет конус с радиусом основания равным \(h\) (высота трапеции) и высотой равной \(a\) (меньшей стороне трапеции). Площадь поверхности этого тела вращения \(S_2\) можно вычислить по формуле \(S_2 = \pi r_l(r_l + l)\), где \(r_l\) - радиус основания конуса, который равен \(h\), а \(l\) - образующая конуса, равная \(a\). Следовательно, формула принимает вид \(S_2 = \pi h(h + a)\).

3. Чтобы найти объем тела вращения равнобочной трапеции при вращении около меньшего основания, воспользуемся формулой \(V_1 = \pi r^2h\), где \(r\) - радиус основания цилиндра, который равен \(h\), а \(h\) - высота цилиндра, равная \(b\). Следовательно, формула принимает вид \(V_1 = \pi bh^2\).

Таким образом, мы получили следующие результаты:
- Площадь поверхности тела вращения при вращении прямоугольной трапеции вокруг меньшего основания равна \(S_1 = 2\pi bh\).
- Площадь поверхности тела вращения при вращении прямоугольной трапеции вокруг большего основания равна \(S_2 = \pi h(h + a)\).
- Объем тела вращения равнобочной трапеции при вращении около меньшего основания равен \(V_1 = \pi bh^2\).