Как изменяется значение у при увеличении значения х от 1/3 до 27 в графике функции y=log(1/3) x? Решите следующие

Конечно! Давайте рассмотрим вашу задачу и уравнения по очереди.

В задаче вам нужно определить, как изменяется значение функции \(y = \log_{\frac{1}{3}} x\) при увеличении значения \(x\) от \(\frac{1}{3}\) до 27.

Начнем с того, что обратимся к определению логарифма. Функция \(\log_{\frac{1}{3}} x\) означает, что \(x\) возводится в степень, которая дает \(\frac{1}{3}\) в результате. Или, другими словами, если \(\left(\frac{1}{3}\right)^y = x\), то \(y = \log_{\frac{1}{3}} x\).

Теперь рассмотрим диапазон значений \(x\), который у нас дан: от \(\frac{1}{3}\) до 27. Мы можем заметить, что \(\frac{1}{3}\) возводится в любую положительную степень будет давать число, меньшее единицы. В то же время, при увеличении \(x\) до 27, мы видим, что степень \(\frac{1}{3}\) также будет увеличиваться.

Таким образом, при увеличении значения \(x\) от \(\frac{1}{3}\) до 27, значение функции \(y = \log_{\frac{1}{3}} x\) будет увеличиваться от значения меньше нуля до большего значения. Это происходит потому, что при увеличении значения \(x\) в степень \(\frac{1}{3}\), результат будет увеличиваться.

Теперь перейдем к решению уравнений.

а) Рассмотрим уравнение \(\log_{0,2} (x^2 + 4x) = -1\).

Для начала, заметим, что логарифм определен только для положительных чисел. Поэтому мы должны исключить любые значения \(x\), при которых выражение \(x^2 + 4x\) не положительно.

После этого мы можем преобразовать уравнение следующим образом: \(0,2^{-1} = x^2 + 4x\).

Теперь у нас есть уравнение без логарифма. Перепишем его в квадратном виде:

\[x^2 + 4x - 5 = 0\]

Мы можем решить это уравнение факторизацией или применив квадратную формулу. Получаем:

\[x = 1, x = -5\]

Однако, мы помним, что мы должны исключить отрицательные значения \(x\), поскольку они не являются допустимыми для данного логарифма.

Таким образом, решением данного уравнения является \(x = 1\).

б) Рассмотрим уравнение \(\log_3 \left(\frac{1}{x}\right) + \log_3 \sqrt{x} = -1\).

Избавимся от логарифма, применив свойство логарифма \(\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)\):

\[\log_3 \left(\frac{1}{x} \cdot \sqrt{x}\right) = -1\]

Произведение \(\frac{1}{x} \cdot \sqrt{x}\) можно упростить:

\[\frac{1}{x} \cdot \sqrt{x} = \frac{\sqrt{x}}{x}\]

Применим свойство логарифма \(\log_a b = -\log_b a\), чтобы избавиться от отрицательного показателя:

\[\log_3 \left(\frac{\sqrt{x}}{x}\right) = \log_3 (x^{-\frac{1}{2}})\]

Теперь, преобразуем левую часть уравнения, используя свойство \(\log_a b = \log_a c \Rightarrow b = c\):

\[\frac{\sqrt{x}}{x} = x^{-\frac{1}{2}}\]

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[\left(\frac{\sqrt{x}}{x}\right)^2 = (x^{-\frac{1}{2}})^2\]

После упрощения получаем:

\[\frac{x}{x^2} = x^{-1}\]

Умножим обе части уравнения на \(x^2\):

\[1 = \frac{1}{x}\]

Теперь, возведем обе части уравнения в степень -1:

\[x = 1\]

Таким образом, единственным решением этого уравнения является \(x = 1\).

в) Рассмотрим неравенство \(\log_{0,5} (x-1) > \log_{0,5} (x+3)\).

Обратите внимание, что в этом неравенстве основание логарифма равно \(0,5\), а \(0,5\) является числом между \(0\) и \(1\). Следовательно, мы знаем, что аргументы логарифмов должны быть положительными: \(x-1 > 0\) и \(x+3 > 0\).

Решим первое неравенство:

\[x - 1 > 0\]

\[x > 1\]

Решим второе неравенство:

\[x + 3 > 0\]

\[x > -3\]

Таким образом, решением данного неравенства будет \(x > 1\), поскольку неравенство направлено влево (т.е. больше).

Надеюсь, что это обстоятельное решение помогло вам.