Как изменится тригонометрическое выражение, если поменять углы на их дополнения?

Если мы хотим узнать, как изменится тригонометрическое выражение, если поменять углы на их дополнения, мы должны знать, как связаны углы и их дополнения в тригонометрии.

Дополнительный угол для данного угла - это угол, который в сумме с данным углом составляет 90 градусов (или \(\frac{\pi}{2}\) радиан). Таким образом, дополнительный угол к углу \(\alpha\) будет выражаться как \(90^\circ - \alpha\) или \(\frac{\pi}{2} - \alpha\) в радианах.

Теперь давайте рассмотрим несколько тригонометрических функций и узнаем, как они изменятся, если мы заменим углы на их дополнения.

1. Синус (sin):
\(\sin(\alpha)\) - это отношение противоположной стороны треугольника к гипотенузе. Если мы заменим угол \(\alpha\) на его дополнение \(90^\circ - \alpha\) (или \(\frac{\pi}{2} - \alpha\) в радианах), то синус этого нового угла будет равен синусу изначального угла \(\alpha\). Формально это можно записать как:
\(\sin(90^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)\) или \(\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha)\)

2. Косинус (cos):
\(\cos(\alpha)\) - это отношение прилежащей стороны треугольника к гипотенузе. Если мы заменим угол \(\alpha\) на его дополнение \(90^\circ - \alpha\) (или \(\frac{\pi}{2} - \alpha\) в радианах), то косинус этого нового угла будет равен отрицательному косинусу изначального угла \(\alpha\). Формально это можно записать как:
\(\cos(90^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)\) или \(\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = -\cos(\alpha)\)

3. Тангенс (tan):
\(\tan(\alpha)\) - это отношение синуса угла к косинусу угла. Если мы заменим угол \(\alpha\) на его дополнение \(90^\circ - \alpha\) (или \(\frac{\pi}{2} - \alpha\) в радианах), то тангенс этого нового угла будет равен обратному тангенсу исходного угла \(\alpha\). Формально это можно записать как:
\(\tan(90^\circ - \alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)}\) или \(\tan(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)}\)

Итак, если мы поменяем углы на их дополнения, синус сохранится, косинус станет отрицательным, а тангенс будет обратным к исходному тангенсу. Эти свойства могут быть полезными при решении различных задач в тригонометрии и обеспечивают связь между углами и их дополнениями.