Найдите значения косинуса угла между апофемами смежных боковых граней правильного тетраэдра, если его ребро равно

\(a\).

Для начала, давайте воспользуемся определением косинуса угла между двумя векторами. Пусть у нас есть два вектора \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) в трехмерном пространстве. Косинус угла между ними можно найти с помощью следующего выражения:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}}{{|\mathbf{u}| \cdot |\mathbf{v}|}}
\]

где \(\theta\) - искомый угол, \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}\) - скалярное произведение векторов \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\), а \(|\mathbf{u}|\) и \(|\mathbf{v}|\) - модули (длины) векторов.

Теперь применим это к нашей задаче. Правильный тетраэдр имеет все грани и ребра одинаковой длины. Пусть \(a\) - длина ребра тетраэдра. Тогда, длина апофемы боковой грани равна половине длины диагонали грани, то есть \(\frac{a}{2}\).

Используя формулу для косинуса угла между двумя векторами, вектор \(\mathbf{u}\) можем задать как:

\[
\mathbf{u} = \frac{a}{2} \cdot \mathbf{i} + \frac{a}{2} \cdot \mathbf{j} + 0 \cdot \mathbf{k}
\]

где \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\) и \(\mathbf{k}\) - орты координатных осей.

Аналогично, вектор \(\mathbf{v}\) можно задать как:

\[
\mathbf{v} = -\frac{a}{2} \cdot \mathbf{i} + \frac{a}{2} \cdot \mathbf{j} + 0 \cdot \mathbf{k}
\]

Теперь найдем скалярное произведение векторов \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\):

\[
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \left(\frac{a}{2} \cdot \mathbf{i} + \frac{a}{2} \cdot \mathbf{j} + 0 \cdot \mathbf{k} \right) \cdot \left(-\frac{a}{2} \cdot \mathbf{i} + \frac{a}{2} \cdot \mathbf{j} + 0 \cdot \mathbf{k} \right) = \left(\frac{a}{2} \cdot -\frac{a}{2}\right) + \left(\frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2}\right) + 0 = -\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = 0
\]

Затем найдем модули (длины) векторов \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\):

\[
|\mathbf{u}| = \left|\frac{a}{2} \cdot \mathbf{i} + \frac{a}{2} \cdot \mathbf{j} + 0 \cdot \mathbf{k} \right| = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}}
\]

\[
|\mathbf{v}| = \left|-\frac{a}{2} \cdot \mathbf{i} + \frac{a}{2} \cdot \mathbf{j} + 0 \cdot \mathbf{k} \right| = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}}
\]

Наконец, подставим значения в формулу для косинуса угла:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}}{{|\mathbf{u}| \cdot |\mathbf{v}|}} = \frac{0}{{\sqrt{\frac{a^2}{2}} \cdot \sqrt{\frac{a^2}{2}}}} = \frac{0}{\frac{a^2}{2}} = 0
\]

Таким образом, мы получаем значение косинуса угла между апофемами смежных боковых граней правильного тетраэдра равным \(0\).