Как изменится период колебаний однородного диска радиусом 0,4 м, если перенести ось колебаний, перпендикулярную диску

Для решения этой задачи мы можем использовать закон сохранения момента импульса. Период колебаний описывает время, за которое однородный диск делает один полный оборот вокруг оси колебаний. Период колебаний обозначается как \(T\).

Сначала давайте определим, как будет изменяться момент инерции диска при передвижении оси колебаний. Момент инерции \(I\) однородного диска относительно его оси вращения можно найти по формуле:

\[I = \frac{1}{2} m r^2\]

где \(m\) - масса диска, а \(r\) - его радиус. В данной задаче массу диска не указано, но мы можем предположить, что она постоянна и может быть произвольной.

Когда ось колебаний находится на расстоянии \(r\) от центра диска, момент инерции будет равен \(I = \frac{1}{2} m r^2\).

После передвижения оси колебаний на расстояние, равное \(\frac{1}{4}\) от радиуса, новое расстояние между осью и центром диска станет \(r" = r - \frac{1}{4} r = \frac{3}{4} r\).

Чтобы найти новый момент инерции \(I"\), мы можем использовать формулу для момента инерции однородного диска относительно оси, параллельной оси, проходящей через центр диска:

\[I" = \frac{1}{2} m (r")^2\]

Заменяя \(r"\) на \(\frac{3}{4} r\) и проводя несложные алгебраические преобразования, мы получим:

\[I" = \frac{1}{2} m \left(\frac{3}{4} r\right)^2 = \frac{9}{32} m r^2\]

Используя закон сохранения момента импульса, мы можем сказать, что до и после перемещения оси колебаний момент инерции диска остается постоянным. То есть \(I = I"\), что позволяет нам записать:

\[\frac{1}{2} m r^2 = \frac{9}{32} m r^2\]

Для удобства расчетов можно сократить общие множители и оставить:

\[\frac{1}{2} = \frac{9}{32}\]

Чтобы найти новый период колебаний \(T"\), мы можем воспользоваться формулой для периода колебаний математического маятника:

\[T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}\]

где \(m\) - масса диска, \(g\) - ускорение свободного падения, а \(d\) - расстояние от центра масс до оси колебаний.

Массу диска, ускорение свободного падения и расстояние до оси колебаний предположим постоянными.

Подставив \(I = \frac{1}{2} m r^2\) и \(T = T"\), мы можем записать:

\[2\pi \sqrt{\frac{1}{2} \frac{m r^2}{mgd}} = 2\pi \sqrt{\frac{9}{32} \frac{m r^2}{mgd"}}\]

Множители \(2\pi\), \(\frac{m r^2}{mgd}\) и его аналог никуда не делимся и взаимоуничтожаются, и мы остаемся с уравнением:

\[\sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{9}{32} \frac{1}{\frac{3}{4}}}\]

Снова сокращаем общие множители и получаем:

\[\sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{4}}\]

Из этого можно сделать вывод, что период колебаний диска не изменится при перемещении оси колебаний к центру диска на расстояние, равное \(\frac{1}{4}\) его радиуса.