Как изменить предел числовой последовательности xn=4/√n—1/n+4+2/корень в 3 степени, не теряя ее значения и объема?

Чтобы изменить предел числовой последовательности \(x_n = \frac{4}{\sqrt{n}} - \frac{1}{n+4} + \frac{2}{\sqrt[3]{n}}\), не теряя ее значения и объема, мы можем воспользоваться некоторыми свойствами пределов. Давайте рассмотрим этот процесс пошагово:

Шаг 1: Заменим квадратный корень на i-й степени, чтобы изменить формулу на более удобную для дальнейших преобразований. Возведем в степень \(\frac{1}{2}\) каждую часть формулы:

\(x_n = \frac{4}{\sqrt{n}} - \frac{1}{n+4} + \frac{2}{\sqrt[3]{n}}\) (исходная формула)
\(x_n = \frac{4}{n^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{n+4} + \frac{2}{n^{\frac{1}{3}}}\) (измененная формула)

Шаг 2: Поменяем порядок слагаемых так, чтобы они были упорядочены по убыванию. В нашем случае, самым медленно убывающим слагаемым является \(\frac{2}{n^{\frac{1}{3}}}\), затем идет \(\frac{4}{n^{\frac{1}{2}}}\) и самым быстро убывающим слагаемым будет \(\frac{1}{n+4}\). Таким образом, поменяем порядок слагаемых:

\(x_n = \frac{1}{n+4} + \frac{4}{n^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{n^{\frac{1}{3}}}\) (измененная формула с переупорядочиванием слагаемых)

Шаг 3: Проанализируем каждое слагаемое отдельно и найдем пределы каждого слагаемого по отдельности:

Для слагаемого \(\frac{1}{n+4}\) предел равен нулю, так как \(n\) стремится к бесконечности.

Для слагаемого \(\frac{4}{n^{\frac{1}{2}}}\) предел также равен нулю, так как квадратный корень из \(n\) стремится к бесконечности.

Для слагаемого \(\frac{2}{n^{\frac{1}{3}}}\) предел также равен нулю, так как кубический корень из \(n\) стремится к бесконечности.

Шаг 4: Сложим полученные пределы каждого слагаемого:

\(x_n = 0 + 0 + 0\) (сумма пределов каждого слагаемого)

Таким образом, новый предел измененной числовой последовательности равен нулю. Мы сохранили значения и объем последовательности, но получили новый предел 0.